 | とりあえず，4数で考えてみて，それをn数に拡張してみましょう．
4数をa,b,c,dとします．
(1)で求めたいのは，ab+ac+ad+bc+bd+cdです．
(a+b+c+d)^2 =(a^2+b^2+c^2+d^2)+ (ab+ac+ad+ba+bc+bd+ca+cb+cd+da+db+dc)と展開できるので，もう少し整理して
=(a^2+b^2+c^2+d^2)+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)
よって，求めるのは，{(a+b+c+d)^2-(a^2+b^2+c^2+d^2)}/2
(2)で求めたいのは，ac+bd+adです．
よって，求めるのは，{(a+b+c+d)^2-(a^2+b^2+c^2+d^2) -2*(ab+bc+cd)}/2
さて，これを，1～nに拡張しましょう．
(1)(1+2+…+n)^2=(1^2+2^2+…+n^2) +2*(異なる2数の積)
よって，(異なる2数の積)={(Σ[k=1..n] k)^2 -(Σ[k=1..n] k^)}/2
後は公式なので，がんばってください．
(2) (1)で求めた答えをS[n]と置き，(2)で求めたいものをT[n]とおきましょう．
このとき，S[n]={1*2+2*3+3*4+…+(n-1)*n} +T[n]と書けます．
ここで，1*2+2*3+3*4+…+(n-1)*n=Σ[k=1..n-1] k(k+1) なので，公式でも解けると思いますが，別のテクった方法を紹介いたします．
Σ[k=1..n-1] k(k+1)= (1/3)*Σ[k=1..n-1] k(k+1)(k+2) -(k-1)k(k+1)
=(1/3) *{1*2*3 +2*3*4+…+(n-2)(n-1)n+(n-1)n(n+1)}
-(1/3) *{0*1*2 +1*2*3+…+(n-1)n(n+1)}
なので，上と下でほとんどの部分が消され
=(1/3)*{(n-1)n(n+1) -0*1*2}=(n-1)n(n+1)/3．
これより，求めてみてください．
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