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■796 / inTopicNo.1)

　ベクトル

□投稿者/ かいと一般人(9回)-(2005/05/22(Sun) 23:00:02)

平面上に⊿ABCがあり、α,β,γを0,-1のいずれとも異なる実数として、三点P,Q,Rを→AP=α→PB,→BQ=β→QC,→CR=γ→RAとおく。
(1)→BRを→BP,→BQを用いて表せ。
(2)P,Q,Rが同一直線状にあるためのα,β,γの条件を求めよ
(3)P,Q,Rが同一直線状にあり、かつα>0,β<-1,γ>0とする。⊿APR、⊿CQR,四角形PBCRの面積比が1:1:4であるとき、α,β,γの値を求めよ。

どうかお願いします。（結構急いでます（汗））

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■804 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ベクトル

▲▼■

□投稿者/ みっちぃ一般人(11回)-(2005/05/23(Mon) 02:31:28)

ベクトルはAB~などと書きます．

(1)いきなり，BP~とBQ~を用いるのは大変だと思うので，BA~=a~，BC~=c~とおいて，BP~,BQ~,BR~をa~,c~用いて表してみましょう．

AP~=αPB~⇒AB:AP:PB=1+α:α:1なので，BP~=1/(1+α) *BA~=a~*1/(1+α)
BQ~=βQC~⇒BC:BQ:QC=1+β:β:1なので，BQ~=β/(1+β) *BC~=c~*β/(1+β)
CR~=γRA~⇒CR:RA=γ:1なので，BR~={BC~+γBA~}/(1+γ)=(c~+γa~)/(1+γ)

今，a~=(1+α)*BP~，c=(1+β)/β *BQ~なので，BR~=γ(1+α)/(1+γ) *BP~ +(1+β)/β(1+γ) *BQ~

(2) Rが直線PQ上にあるとき，BR~=t*BP~+(1-t)*BQ~ とかけるはずなので，
γ(1+α)/(1+γ) + (1+β)/β(1+γ)=1となります．
これの分母を払って，βγ(1+α)+(1+β)=β(1+γ)　⇒αβγ+1=0…①．

(3)α,γ>0，β<-1の下で，A,B,C,P,Q,Rの図を描いてみると，Bを頭の先，A,Qを足の先とするような，メネラウスの定理の形になっています．
以後，この図および，各辺の比をしっかりα,β,γを用いて書いているとして，議論します．
ちなみに，CQ=1としたとき，BQ=-βです．

ここで，△APR:△ABC=1:5⇒α/(1+α)(1+γ)=1/5…②
また，△APR=△CQRに対して，∠Rが共通なので，AR*PR=RC*RQでPR:RC=1:γなので，
PR:RQ=γ:1となり，△QRC:△QBP=1:5⇒1/(1+γ)*(-β)=1/5…③

③に①:-β=1/αγを代入して，γα/(1+γ) =1/5…④
②④より，γ=1/(1+α)⇒α=1/γ -1…⑤
⑤を④に代入して，(1-γ)/(1+γ)=1/5⇒γ=2/3．
γを⑤に代入してα=1/2．
α，γをαβγ=-1に代入して，β=-3．

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