 | ■No7903に返信(ハングリーさんの記事)
> ２次関数f(x)=ax^2+4ax+5a+2がある。ただし、aは０でない定数である。
> (1)y=f(x)のグラフがx軸と異なる２点で交わるとき、aのとりうる値の範囲を求めよ。
> (2)−1≦x≦1において常にf(x)≧０が成り立つとき、aのとりうる値の範囲を求めよ。
> (3)a≦x≦a+1におけるf(x)の最大値をaを用いて表せ。
(1)2次方程式f(x)=0の判別式をDとすると，D>0が求める条件ですね．
(2)-1≦x≦1において，常にf(x)≧0⇔-1≦x≦1におけるf(x)の最小値≧0
という言いかえがポイントになります．
f(x)=a(x+2)^2 +a+2
[甲]a>0のとき
x=-2のとき最小値をとります．
[乙]a<0のとき
x=1のとき最小値をとります．
(3)これもaが正か負かで場合わけですね．
[甲]a>0のとき
a≦x≦a+1の真ん中x=(2a+1)/2が軸x=-2より右か左かがポイントになりますが，a>0ならば(2a+1)/2>0なので，x=(2a+1)/2は必ず軸の右側にあります．よって，x=a+1のとき最大値をとります．
[乙]a<0のとき
この場合は上に凸の放物線となるので，最大値の候補は，x=-2 or a or a+1です．
a≦x≦a+1にx=-2が含まれるとき，つまり，-3≦a≦-2のときはx=-2で最小値です．
a<-3のときは，x=a+1のとき最小値で，
a>-3のときは，x=aのとき最小値をとります．
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