 | ■No781に返信(ブラックＭさんの記事)
> 申し訳ありません。修正です。
> 1+18iのところが1+18iaとなっていました。
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> こんにちは。
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> 度々複素数で恐縮ですが下記について、効率的な解法をご教示下さい。
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> a,b,c,dを正の整数とする。
> 複素数w=a+bi, z=c+diがw^2*z=1+18iを満たすa,b,c,dを求めよ。
>
> よろしくお願い致します。
>
>
この問題は一橋大学か名古屋あたりの問題ではないですか？どこかで見たことがある気がしますが。
w=a+bi…甲 z=c+di…乙 とおく。甲、乙ともに絶対値をとると
|w|=√(a^2+b^2), |z|=√(c^2+d^2) となる。
ここで |w^2*z|=√325⇔|w|^2|z|=5√13 ⇔(a^2+b^2)√(c^2+d^2)=5√13
⇔a^2+b^2=5, c^2+d^2=13 となる。
さて、a,b,c,dはすべて正の整数だから、a^2+b^2=5より
(a,b)=(1,2),(2,1) となり、同様に c^2+d^2=13 より
(c,d)=(2,3),(3,2) となる。これより
(a,b,c,d)=(1,2,2,3)または(1,2,3,2)または(2,1,2,3)または(2,1,3,2) となる。
しかしここで、w^2*z=(a^2-b^2)c-2abd+{(a^2-b^2)d+2abc}より
(a^2-b^2)c-2abd=1, (a^2-b^2)d+2abc=18も みたすa,b,c,dは
(a,b,c,d)=(2,1,3,2)だけである。
∴(a,b,c,d)=(2,1,3,2)
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