数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 2006年度東京工業大学付属高校問題 / Page: 0]

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■7785 / inTopicNo.1)

　2006年度東京工業大学付属高校問題

□投稿者/ パイナニ一般人(1回)-(2006/01/19(Thu) 16:29:56)

私はこの高校の推薦の数学・理科を最近受けましたが落ちてしまいました・・・・
難しすぎるので教えてください。

（1）ｎは平方数以外のすべての自然数を表すものとする。
　　√ｎは無理数であることを示せ。

（2）円周率はπは図形的根拠をもとに3＜π＜4であることを示せ。

（3）正五角形をコンパスと定規を用いて作図せよ。
　　ただし、正五角形の一辺の長さと、対角線の長さの比は1：（1+√5）/2
　　であることを用いても良い。

　とこんな問題でした。
　わかる方、わかりやすくお願いします。

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■7789 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 2006年度東京工業大学付属高校問題

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□投稿者/ らすかるファミリー(199回)-(2006/01/19(Thu) 16:47:42)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

2006/01/19(Thu) 17:19:03 編集(投稿者)

(1)
√nが有理数であると仮定して、√n=q/p （p,qは互いに素な自然数）と
おきます。すると、両辺を2乗して n=q^2/p^2 ∴p^2n=q^2
従ってq^2はpで割り切れますが、pとqは互いに素ですから、p=1となり、
n=q^2。これはnが平方数でないという条件に矛盾します。
従って√nが有理数であるという仮定は誤りなので、√nは無理数です。

(2)
半径1の円に内接する正六角形と外接する正方形を考えると、
内接正六角形の周の長さは6、外接正方形の周の長さは8、
円周の長さは2πなので、6＜2π＜8 ∴3＜π＜4。

(3)
これは文字だけで説明するのは大変ですので「正五角形の作図」で
検索してみて下さい。たくさん見つかります。

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■7863 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 2006年度東京工業大学付属高校問題

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□投稿者/ パイナニ一般人(3回)-(2006/01/21(Sat) 05:38:39)

ありがとうございます。
なるほど、そうなるんですか。
しかし、こんな解法いままで見たことありませんよ。
こんな問題、中学生に出してよかったんでしょうか？

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■7870 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 2006年度東京工業大学付属高校問題

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□投稿者/ リストっち軍団(105回)-(2006/01/21(Sat) 21:17:03)
http://d.hatena.ne.jp/pro_pitagora/

■No7863に返信(パイナニさんの記事)
> ありがとうございます。
> なるほど、そうなるんですか。
> しかし、こんな解法いままで見たことありませんよ。
> こんな問題、中学生に出してよかったんでしょうか？
横レス失礼します．
(1)背理法は，難関高校用の問題集には載ってる思います．
(2)似たような問題が東海大付属高校にありました．
(3)正五角形の作図問題は有名問題ですね．数学パズルの本とかにはよくのってたりしますが・・・．

まあ，どれもいちおう許容範囲ではないでしょうか．

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