数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: NO TITLE / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ1 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■775 / inTopicNo.1)

　NO TITLE

□投稿者/ 高志　一般人(1回)-(2005/05/22(Sun) 14:26:28)

OP=1,OQ=2,PR=4,QR=3の四角形OPQRで、その面積をSとし、∠POQ=θ,∠PRQ=φとする時
(ⅰ)cosθとcosφの関係式を求めよ
(ⅱ)θ→0の時、S^a/PQ-1が0でない有限な値に収束するような正の定数aの値を求め、そのときの極限値を求めよ。
お願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■786 / inTopicNo.2)

　Re[1]: NO TITLE

▲▼■

□投稿者/ みっちぃ一般人(4回)-(2005/05/22(Sun) 18:51:52)

(1)△POQと△PRQで，それぞれ余弦定理を使います．
△POQ：QP^2=4+1-4cosθ
△PRQ：QP^2=9+16-24cosφ

よって，5-4cosθ=25-24cosφ⇒cosθ=6cosφ -5．

(2) S=△POQ+△PRQで
△POQ=1/2 *2*1*sinθ=sinθ
△PRQ=1/2 *4*3*sinφ=12sinφ
なので，S=sinθ+12sinφです．
ここで，cosθ=6cosφ -5なので，θ→0でcosθ→1となりcosφ→1で，φ→0です．

三角関数の極限では，間違いなくlim[x→0] sin(x)/x=1を用いるので，
まず，lim[θ→0] (PQ-1)/θ^b が0でない極限値を持つときのbを求めます．
PQ-1=√(5-4cosθ)-1 =(4-4cosθ)/{√(5-4cosθ) +1} =4sin^2θ *[1/{√(5-4cosθ) +1}*(1+cosθ)]となるため
lim[θ→0] PQ-1/θ^2 =lim[θ→0] 4(sin^2θ/θ^2) *[1/{√(5-4cosθ) +1}*(1+cosθ)]=1となり，b=2．

また，lim[θ→0] S/θ^c が0でない極限値を持つときのcを求めます．
sin^2φ=1-cos^2φ =1-{(cosθ+5)/6}^2 =1- (cos^2θ +10cosθ +25)/36 ={(1-cos^2θ)+5(1-cosθ)}/36
=(sin^2θ/36)*{1 +5/(1+cosθ)}

よって，12sinφ =2sinθ*√{1 +5/(1+cosθ)}で，lim[θ→0] 12sinφ/θ =2*√(7/2)=√14．

なので，lim[θ→0] S/θ　=1 +√14となり，c=1．

最後に，lim[θ→0] S^a/{PQ-1} = lim[θ→0] (S/θ)^a ÷ {(PQ-1)/θ^2} となれば，0以外の極限値を持つので，
a=2でこのとき，lim[θ→0] S^2/{PQ-1} =(1+√14)^2/1 =15+2√14．

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■793 / inTopicNo.3)

　Re[2]: NO TITLE

▲▼■

□投稿者/ 高志一般人(1回)-(2005/05/22(Sun) 21:03:36)

> △PRQ=1/2 *4*3*sinφ=12sinφ
ここって6sinφではないのでしょうか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■799 / inTopicNo.4)

　Re[3]: NO TITLE

▲▼■

□投稿者/ みっちぃ一般人(7回)-(2005/05/23(Mon) 01:22:16)

そうですね．すみません．計算大変ですが，がんばってください．