 | はい、√の中がマイナスとはつまり虚数になってしまったということですね？それでいいですよ。
x^4+x^3+x^2+x+1=0
の両辺をx^2(≠0)で割れば
x^2+x+1+1/x+1/x^2=0
⇔x^2+2x(1/x)+(1/x)^2+x+1/x-1=0
⇔(x+1/x)^2+x+1/x-1=0
ここで、x+1/x=Xとおけば
X^2+X-1=0
⇔X=(-1±√5)/2
よって、
x+1/x=(-1±√5)/2、つまり
二次方程式x^2+{(1±√5)/2}x+1=0を解けばいい(解の公式などを使って)。
(別解)
x^4+x^3+x^2+x+1=0
両辺にx-1をかければ
x^5-1=0⇔x^5=1
よって、(1以外の)1の5乗根が求める解である。
よって、Gauss平面(複素平面)で考えると、
x=cos(2πk/5)+isin(2πk/5)(k=1,2,3,4)
と分かる。
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