 | B={p,q,r,s}(p,q,r,sはどれも0でないとする)
とすれば、p^n(n∈N)はp,q,r,sのどれかのはず。
ここで、p=r(cosθ+isinθ)(r,i,θは実数,r＞0,0≦θ＜2π)とおけ、
p^n=r^n(cosnθ+isinnθ)(n∈N)が高々4個の複素数になるようなpは
r=1を満たします。
∴p^n=cosnθ+isinnθ
ここで、pを掛けるということは、Gauss平面上でθだけ回転させることに相当するので、pを何乗してもpになることがないということは、絶対にありません。
よって、pはk乗(4≧k∈N)すれば必ずpになるので、
θは0かπ/2かπか3π/2か2π/3か4π/3になります。
Bの要素に0がなければ、Bは{1,-1,i,-i}になります。
さて、Bの要素の一つに0があるとき、上と全く同様に考えれば、他の3要素において、
θは0か2π/3か4π/3かπになります。
∴Bは{0,1,cos(2π/3)+isin(2π/3),cos(4π/3)+isin(4π/3)}以外にありえません。
よって、Bは{1,-1,i,-i}か{0,1,cos(2π/3)+isin(2π/3),cos(4π/3)+isin(4π/3)}。
ゆえに、{0,1,cos(2π/3)+isin(2π/3),cos(4π/3)+isin(4π/3)}が乗法と除法について閉じていないことが示されれば題意は満たされる。乗法について閉じているのは明らかゆえ、除法について閉じていないことが示されればいい。
うーん、計算が面倒なんですが、おそらく閉じているような。。
除法が定義されない場合がある集合、例えば{0,1}は除法について閉じていると言えるんですたっけ？？記憶では言えると思うのですがそれだとB=Aが成り立たないことになってしまいますね。。
|
