 | 2006/01/14(Sat) 23:44:26 編集(投稿者)
■No7655に返信(S山口さんの記事)
> 次の不等式が成り立つことを証明せよ。
>
> |x|/(1+|x|)+|y|/(1+|y|)≧|x+y|/(1+|x+y|)
>
> 左辺-右辺の方法で証明する式の過程でつまっています。
> よければ、詳しくおねがいします。
|x|/(1+|x|) + |y|/(1+|y|) - |x+y|/(1+|x+y|)
=(|x|+2|xy|+|y|)/(1+|x|)(1+|y|) - |x+y|/(1+|x+y|)
={(|x|+2|xy|+|y|)(1+|x+y|)-|x+y|(1+|x|+|y|+|xy|)}/(1+|x|)(1+|y|)(1+|x+y|)
={|x|+2|xy|+|y|+|x+y|(|x|+2|xy|+|y|)-|x+y|(1+|x|+|y|+|xy|)}/(1+|x|)(1+|y|)(1+|x+y|)
=(|x|+|y|-|x+y|+2|xy|+|xy||x+y|)/(1+|x|)(1+|y|)(1+|x+y|)≧0
(なぜなら|x|+|y|≧|x+y|)
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