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■7598 / inTopicNo.1) 　無限等比級数の収束条件（S)
  ▼■
□投稿者/ S山口 一般人(42回)-(2006/01/12(Thu) 21:30:35)
    0≦x<π/2のとき、無限級数

    tanx+(tanx)^3+(tanx)^5+...+(tanx)^2n-1+... 壱

    について

    1)無限級数壱が収束するようなxの値の範囲を求めよ

    2)級数の和が√3/2となるようにxの値を求めよ

    初項がtanx　公比がtan^2*x^2だと思うんですが
    うまく解けません

    ご教授おねがいします。
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■7603 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 無限等比級数の収束条件（S)
□投稿者/ 納豆 一般人(34回)-(2006/01/12(Thu) 23:07:18)
    初項はtanxで合っていますが、公比は(tanx)^2です。
    （１）無限等比級数が収束する範囲は、-1<公比<1なので、
    公比＝(tanx)^2は常に0以上なので、
    (tanx)^2<1を0≦x<π/2の範囲で解けばいいと思います。

    （２）無限等比級数の値Sは、初項a、公比rとすると、
    S=a/1-rなので、
    tanx/(1-(tanx)^2)=√3/2
    を解けばいいと思います。
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■7605 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 無限等比級数の収束条件（S)
□投稿者/ 納豆 一般人(36回)-(2006/01/12(Thu) 23:28:05)
    先ほどの訂正で、
    （１）の級数が収束する範囲は、初項が0の時もあるので、
    (tanx)^2<1とtanx=0となる範囲です。（もちろん0≦x<π/2の範囲で）
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■7652 / inTopicNo.4) 　Re[2]: 無限等比級数の収束条件（S)
□投稿者/ S山口 一般人(47回)-(2006/01/14(Sat) 21:19:04) 
    ありがとうございました。

> 初項はtanxで合っていますが、公比は(tanx)^2です。
これはどういうことなんでしょうか？
参考書をよく見るとtan^2xが公比となっています。
tan^2x^2とtan^2xとtanx^2と(tanx)^2はどう違うんでしょうか？

> （１）無限等比級数が収束する範囲は、-1<公比<1なので、
> 公比＝(tanx)^2は常に0以上なので、
> (tanx)^2<1を0≦x<π/2の範囲で解けばいいと思います。
すみません、＞0≦x<π/2の範囲で解けばいい
この範囲で解くとはどういう計算をすればいいんでしょうか？
πはaとかbの単なる記号と一緒だと考えていいんでしょうか？


> （２）無限等比級数の値Sは、初項a、公比rとすると、
> S=a/1-rなので、
これはS=a{1-(r)^n}/1-rではないんでしょうか？
なにか特殊な場合は、S=a/1-rを使うんでしょうか？

質問が多くてすみません。
おねがいします。

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■7674 / inTopicNo.5) 　Re[3]: 無限等比級数の収束条件（S)
□投稿者/ 迷える子羊 付き人(60回)-(2006/01/15(Sun) 11:28:54)
    >>初項はtanxで合っていますが、公比は(tanx)^2です。
    > これはどういうことなんでしょうか？
    その言葉の通りです。7598の下から三行目の2の次の「＊」は何ですか？
    tan^2xを見やすく分かりやすく書くために(tanx)^2と書いているのですよ。
    > 参考書をよく見るとtan^2xが公比となっています。
    > tan^2x^2とtan^2xとtanx^2と(tanx)^2はどう違うんでしょうか？
    tan^2x^2は偏角がx^2でtan(x^2)の２乗を表す。
    tan^2xは偏角がxでtanxの２乗を表す。(tanx)^2も同じ。
    >>（１）無限等比級数が収束する範囲は、-1<公比<1なので、
    >>公比＝(tanx)^2は常に0以上なので、
    >>(tanx)^2<1を0≦x<π/2の範囲で解けばいいと思います。
    > すみません、＞0≦x<π/2の範囲で解けばいい
    > この範囲で解くとはどういう計算をすればいいんでしょうか？
    > πはaとかbの単なる記号と一緒だと考えていいんでしょうか？
    そうですね、そう考えていいと思います。公比がどんな値をとるか調べているわけです。
    >>（２）無限等比級数の値Sは、初項a、公比rとすると、
    >>S=a/1-rなので、
    > これはS=a{1-(r)^n}/1-rではないんでしょうか？
    >なにか特殊な場合は、S=a/1-rを使うんでしょうか？
    その通りです。で、今収束するのだから、(r)^nの極限値がゼロになってS=a/1-rとなるのです。
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■7676 / inTopicNo.6) 　Re[4]: 無限等比級数の収束条件（S)
□投稿者/ 納豆 一般人(38回)-(2006/01/15(Sun) 12:35:54)
    「S山口さん」の質問は、「迷える子羊さん」の解答を参考にしてください。

    もう少し詳しく解答すると、

    （１）
    無限等比級数が収束する範囲は、
    ①tanx=0（初項が０の時）
    ②(tanx)^2<1（-1<公比<1の時）
    に分けられます。
    ①の場合、
    tanx=0を解くと、x=0,π,2π・・・ですが
    0≦x<π/2なので、x=0
    ②の場合
    (tanx)^2<1
    つまり、-1<tanx<1を解くと、
    -π/4<x<π/4ですが、
    0≦x<π/2なので、0≦x<π/4です。
    よって、①と②をまとめて、0≦x<π/4が答えです。

    （２）
    tanx=0（初項が0の時）
    級数は0+0+0+・・・=0なので、√3/2にならない。
    よって、tanx≠０の場合を考えると
    級数の値は「迷える子羊さん」の解答のように
    S=a/(1-r)になるので、
    S=tanx/(1-(tanx)^2)になります。
    S=√3/2になるときなので、
    tanx/(1-(tanx)^2)=√3/2を解くことになります。整理すると
    √3(tanx)^2+2tanx-√3=0、tanx=Xとすると
    √3X^2+2X-√3=0これを解いて
    X=-√3、1/√3
    tanx=-√3、1/√3になりますが、
    （１）より、-1<tanx<1の範囲でしか収束しないので、
    tanx=1/√3これを解いて
    x=π/6(0≦x<π/2なので）

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■7816 / inTopicNo.7) 　Re[5]: 無限等比級数の収束条件（S)
□投稿者/ S山口 付き人(55回)-(2006/01/19(Thu) 21:08:02)
    迷える子羊先生、納豆先生、有難うございました。

    > （１）
    > 無限等比級数が収束する範囲は、
    > ①tanx=0（初項が０の時）
    > ②(tanx)^2<1（-1<公比<1の時）
    > に分けられます。

    参考書を見ると　収束するとき
    lim[a→∞]a_nのときは-1<r≦1　壱
    ∑(∞)(n→1)の場合は-1<r<1　弐
    となっています。（rは公比）
    この問題の1)は壱が適用されるんじゃないかと思うんですが（和を求めているのではなさそうだし）
    どうして弐のほうを用いるんでしょうか？
    それだと②(tanx)^2≦1になると思うんですが、どうしてこれは間違いなんでしょうか？

    > ①の場合、
    > tanx=0を解くと、x=0,π,2π・・・ですが

    tanx=0を解くとどうしてπがでてくるんでしょうか？
    うーん、何度考えても分かりません。教えてもらえないでしょうか？

    > 0≦x<π/2なので、x=0
    > ②の場合
    > (tanx)^2<1
    > つまり、-1<tanx<1を解くと、
    > -π/4<x<π/4ですが、

    どうしてtanxをxに変えると±1が±(π/4)になるんでしょうか？

    > 0≦x<π/2なので、0≦x<π/4です。
    > よって、①と②をまとめて、0≦x<π/4が答えです。
    >
    > （２）
    > tanx=0（初項が0の時）
    > 級数は0+0+0+・・・=0なので、√3/2にならない。
    > よって、tanx≠０の場合を考えると
    > 級数の値は「迷える子羊さん」の解答のように
    > S=a/(1-r)になるので、
    > S=tanx/(1-(tanx)^2)になります。
    > S=√3/2になるときなので、
    > tanx/(1-(tanx)^2)=√3/2を解くことになります。整理すると
    > √3(tanx)^2+2tanx-√3=0、tanx=Xとすると
    > √3X^2+2X-√3=0これを解いて
    > X=-√3、1/√3
    > tanx=-√3、1/√3になりますが、
    > （１）より、-1<tanx<1の範囲でしか収束しないので、

    ここまでなんとかくらいつけました。

    > tanx=1/√3これを解いて
    > x=π/6(0≦x<π/2なので）

    これが分かりません。
    tanxをxに変える過程を教えてもらえないでしょうか？

    また質問が多くてすみません。おねがいします。
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■7834 / inTopicNo.8) 　Re[6]: 無限等比級数の収束条件（S)
□投稿者/ 納豆 一般人(39回)-(2006/01/20(Fri) 09:26:45)
    lim[a→∞]a_nのときは-1<r≦1・・・（１）
    ∑(∞)(n→1)の場合は-1<r<1・・・（２）
    について、
    （１）は公比rの等比数列が収束する範囲のことです。
    例えば、-1<r<1の時は、lim[n→∞]r^n=0ですね。
    r=1/2なら、1/2,1/4,1/8,1/16・・・と0に収束します。
    r=1の時、1,1,1,1,1,1,・・・なので、1に収束します。
    r=-1の時、-1,1,-1,1・・・振動するので発散
    r<-1,r>1の時、発散します。
    よって、lim[n→∞]r^nが収束する範囲は-1<r≦1になります。

    （２）の場合は、無限等比級数が収束する範囲です。
    無限等比級数の値は、lim[n→∞]Snで与えられるので、まずSnをもとめます。
    a_n=a*r^(n-1)という数列(初項：a,公比：r)の第n項までの和は
    Sn=a(1-r^n)/(1-r)になります。
    次に、lim[n→∞]Snについて考えます。
    Snが収束するためには、r^nの部分が収束しなければいけないので、
    （１）の時から、-1<r<1の時に収束し
    S=lim[n→∞]Sn＝a/(1-r)　（←これが無限等比級数の値の公式）
    しかし、r=1の時は、無限等比級数は
    a+a+a+a+a+・・・・となるので、∞（-∞）になり発散します。
    よって、無限等比級数が収束するための範囲は
    -1<r<1となります。（1は駄目）

    （３）「(tanx)^2≦1の部分について」
    (tanx)^2=1がOKだとすると、tanx=1もしくはtanx=-1です
    tanx=1なら、級数は
    1+1+1+1+1+1+・・・
    は∞になります。（tanx=-1も同様に発散）

    問題では、「無限等比級数」が収束する範囲としているので
    （２）を使うのが正しいと思います。
    もし、((tanx)^2)^nという「数列」が収束する範囲なら
    (tanx)^2≦１になります。

    長くなりそうなので、他の質問の解答は次に書きます。



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■7835 / inTopicNo.9) 　Re[7]: 無限等比級数の収束条件（S)
□投稿者/ 納豆 一般人(40回)-(2006/01/20(Fri) 09:35:17)
    （１）「tanx=0を解くと、x=πになる部分」
    これは、S山口さんの指摘のとおり、
    私のミスでした。
    tanx=0になるのは、x=0,2π,4πですが
    0≦x<π/2なので、x=0になります。
    混乱させてしまいすいません。

    （２）「-1<tanx<1から,-π/4<x<π/4の部分」
    これは、tanx<1、tanx>-1という、三角不等式を解いた結果です。
    tanxのグラフを書くか、単位円を書いて考えると分かると思います。

    分からなければまた質問してください。
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■7915 / inTopicNo.10) 　Re[8]: 無限等比級数の収束条件（S)
□投稿者/ S山口 付き人(60回)-(2006/01/22(Sun) 22:12:46)
    親切に教えてくださって有難うございました。
    lim[n→∞]a_nと∑(∞)(n→1)a_nの違いも理解できました。
    有難うございました。
    まだ、質問があるのですが。。（汗

    > tanx=0になるのは、x=0,2π,4πですが

    > （２）「-1<tanx<1から,-π/4<x<π/4の部分」
    > これは、tanx<1、tanx>-1という、三角不等式を解いた結果です。


    tanx=0の単位円をかグラフを書くと分かるのですよね？
    ただ、単位円を習ったときには、πなどは出てこなかったように
    思うんですが、このtanx=0がx=0,2π,4π・・・になる過程を
    教えてもらえないでしょうか？
    それでtanx>-1,tanx<1も理解できると思います。

    いろいろと質問が多くてすみません。
    おねがいします。
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■7949 / inTopicNo.11) 　Re[9]: 無限等比級数の収束条件（S)
□投稿者/ 納豆 一般人(44回)-(2006/01/23(Mon) 14:15:59)
    たびたびすいません。
    やはり、tanx=0になるxはx=0,π,2π・・・です。
    (グラフを見ると分かると思います。）

    （１）-1<tanx<1について
    tanxは、周期πで同じグラフが繰り返されます。
    ですから、「-1<tanx<1となるxの範囲を求めよ」という問題では、
    グラフからも分かるように、
    ・・・-5π/4<x<-3π/4,-π/4<x<π/4,3π/4<x<5π/4・・・と無数にあります。
    しかし、ほとんどの問題には、「0≦x<2πの範囲で」という条件がつきます。
    この問題の場合も、「0≦x<π/2の範囲」ということなので
    0≦x<π/4が答えになります。
    （グラフの斜線の部分）
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■7950 / inTopicNo.12) 　Re[10]: 無限等比級数の収束条件（S)
□投稿者/ 納豆 一般人(45回)-(2006/01/23(Mon) 14:23:23)
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■8060 / inTopicNo.13) 　Re[11]: 無限等比級数の収束条件（S)
□投稿者/ S山口 付き人(74回)-(2006/01/27(Fri) 11:00:32)
    グラフを書いてくださってありがとうございました。
    グラフを見て、ようやく分かりました。
    本当に助かりました。
    単位円のページで勉強させてもらいます。
    それでは。
解決済み!
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