数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[12]: 無限等比級数（S) / Page: 0]

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■7594 / inTopicNo.1)

　無限等比級数（S)

□投稿者/ S山口一般人(41回)-(2006/01/12(Thu) 17:41:21)

自然数nに対して、S_n=∑[n][k=0](1/2)^(k)*coskπとおくとき、次の問に答えよ。

1)S_nはどのような数列の和になっているか述べよ。

2)S_nおよび∑[∞][k=0](1/2)^(k)*coskπを求めよ。

難しいです。。おねがいします。

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■7604 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 無限等比級数（S)

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□投稿者/ 納豆一般人(35回)-(2006/01/12(Thu) 23:15:50)

coskπは、1,-1,1,-1,・・・となるので、
coskπ＝(-1)^kと表せます。よって、
(1/2)^k*coskπ=(1/2)^k*(-1)^k=(-1/2)^kとなります。
（１）S_nは等比数列(-1/2)^kをk=0から、k=nまでの和なので、
等比数列の和の公式を使えばできます。

（２）（１）で計算したS_nのn→∞の時の極限を求めればできます。

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■7651 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 無限等比級数（S)

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□投稿者/ S山口一般人(46回)-(2006/01/14(Sat) 21:09:40)

有難うございました。

> coskπは、1,-1,1,-1,・・・となるので、
これはどうしてそうなるんでしょうか？
cos1πやcos2πがどうして1や－1になるんでしょうか？

> coskπ＝(-1)^kと表せます。よって、
> (1/2)^k*coskπ=(1/2)^k*(-1)^k=(-1/2)^kとなります。
ここは分かりました。

> （１）S_nは等比数列(-1/2)^kをk=0から、k=nまでの和なので、
> 等比数列の和の公式を使えばできます。
参考書だとn+1項までの和になっていると書かれているんですが
どうしてn項までじゃなくて、＋1されているんでしょうか？
n項までの和だと考えると2/3{1-(-1/2)^n}になりました。
答えを見ると、「初項1、公比-(1/2)の等比数列の初項から第n項までの和となる」
となっています。
どうしてn+1なんでしょうか？

2番は一番が解けてから質問があればしたいと思います。

おねがいします。

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■7675 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 無限等比級数（S)

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□投稿者/ 納豆一般人(37回)-(2006/01/15(Sun) 12:19:21)

もう少し丁寧に書きます。分からなければまた質問してください。

（１）kに順番に0,1,2,3,・・・と代入していくと、
この等比級数の各項は、
a[0]=1,a[1]=-1/2,a[2]=1/4,a[3]=-1/8,a[4]=1/16,・・・,a[n]=(-1/2)^n
Sn=Σ(k=0～n)(-1/2)^k=a[1]+a[2]+・・・a[n]
になります。

（２）Snは初項が１、公比が-1/2の等比数列の第一項から、第n+1項までの和
になります。（a[0]からa[n]まで足すと、n+1項あるので）
Sn=(1-(-1/2)^n+1)/(1-(-1/2)=(2/3)(1-(-1/2)^n+1)になります。

∑[∞][k=0](1/2)^(k)*coskπ
=lim（n→∞）Sn
=lim（n→∞）(2/3)(1-(-1/2)^n+1)
=2/3 ((-1/2)^n+1→０なので）

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■7814 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 無限等比級数（S)

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□投稿者/ S山口付き人(54回)-(2006/01/19(Thu) 20:35:51)

ありがとうございました。

> （１）kに順番に0,1,2,3,・・・と代入していくと、
> この等比級数の各項は、
> a[0]=1,a[1]=-1/2,a[2]=1/4,a[3]=-1/8,a[4]=1/16,・・・,a[n]=(-1/2)^n
> Sn=Σ(k=0～n)(-1/2)^k=a[1]+a[2]+・・・a[n]
> になります。

coskπ＝(-1)^k　というのは公式と言うか知っていて当然のことなんでしょうか？
cos1π＝1,cos2π=-1,...という感じなんでしょうか？
これを知らないとこの問題は解けないようなんですが、他にsinkπやtankπなどはあるんでしょうか？

> （２）Snは初項が１、公比が-1/2の等比数列の第一項から、第n+1項までの和
> になります。（a[0]からa[n]まで足すと、n+1項あるので）
a[0]から数えているからn+1項だったんですか。
難しいですね。

質問のほう、ご面倒でしょうが、おねがいします。

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■7833 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 無限等比級数（S)

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□投稿者/ 迷える子羊付き人(68回)-(2006/01/20(Fri) 02:06:24)

> coskπ＝(-1)^k　というのは公式と言うか知っていて当然のことなんでしょうか？
> cos1π＝1,cos2π=-1,...という感じなんでしょうか？
> これを知らないとこの問題は解けないようなんですが、他にsinkπやtankπなどはあるんでしょうか？
知らないと解けないとか公式だから必死こいて覚えなきゃとかではなくて、
少し考えたらすぐに理解できることなんです。
例えば、a_n=(cosnπ)/nの極限値を求めることは出来ますか？
■7213を参照してください。
>>（２）Snは初項が１、公比が-1/2の等比数列の第一項から、第n+1項までの和
>>になります。（a[0]からa[n]まで足すと、n+1項あるので）
> a[0]から数えているからn+1項だったんですか。
> 難しいですね。
何項目から何項目までの和を考えているのかよく見ましょう。大抵k=1なんですが時々そうでない場合があるので注意しましょうということです。例えば∑kや ∑k^2の公式はk=1からでないと使えないですから。使えない時は工夫ですね。
∑[k=4→10]k^2とかの計算はできますか？

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■7917 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 無限等比級数（S)

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□投稿者/ S山口付き人(61回)-(2006/01/22(Sun) 22:21:59)

有難うございました。

＞a_n=(cosnπ)/n

これはlim[n→∞]a_n=(cosnπ)/n
という式のことでしょうか？

nで分母と分子を割って、答えは０になると思うんですが、どうでしょうか？

＞∑[k=4→10]k^2

これは4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2+10^2ですよね？
答えは、３７１です。

あっているかどうか不安なので、おねがいします。

＞cos1π＝1,cos2π=-1

というのが、いまだどうやって導いてるのか分からないんですが
πはどういう役割を果たしているんでしょう？

おねがいします。

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■7925 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 無限等比級数（S)

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□投稿者/ 迷える子羊付き人(69回)-(2006/01/22(Sun) 22:53:26)

> ＞a_n=(cosnπ)/n
>
> これはlim[n→∞]a_n=(cosnπ)/n
> という式のことでしょうか？
そうです。
> nで分母と分子を割って、答えは０になると思うんですが、どうでしょうか？
■No7213を参照して下さい。はさみうちの原理ですよ。
> ＞∑[k=4→10]k^2
>
> これは4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2+10^2ですよね？
まぁそういうことになるんですが、
> 答えは、３７１です。
> あっているかどうか不安なので、おねがいします。
∑[k=4→10]k^2=∑[k=1→10]k^2-∑[k=1→3]k^2として
∑[k=1→n]k^2の公式を使えばいいんですね。「k=1から始まるようにする」といいたかったんですが・・・。
> ＞cos1π＝1,cos2π=-1
>
> というのが、いまだどうやって導いてるのか分からないんですが
導いているというより、cosπ=-1、cos2π=1という事実をただ使っただけと思います。例えば、cos(π/3)=1/2ということは何のためらいもなく使うでしょう？

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■7928 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 無限等比級数（S)

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□投稿者/ S山口付き人(67回)-(2006/01/22(Sun) 22:58:46)

有難うございました。

> 導いているというより、cosπ=-1、cos2π=1という事実をただ使っただけと思いま>す。例えば、cos(π/3)=1/2ということは何のためらいもなく使うでしょう？

cos(π/3)=1/2なんですか？
いままで参考書をやってきましたがそういうのは出てこなかったんですが･･(汗
どうやったら、1/2になるんでしょうか？　というか、それは決まりきったことなんですよね？
参考書が古いから載ってないのかな･･(汗

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■7932 / inTopicNo.10)

　Re[9]: 無限等比級数（S)

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□投稿者/ 迷える子羊付き人(71回)-(2006/01/22(Sun) 23:16:20)

> cos(π/3)=1/2なんですか？
> いままで参考書をやってきましたがそういうのは出てこなかったんですが･･(汗
> どうやったら、1/2になるんでしょうか？　というか、それは決まりきったことなんですよね？
そうですね、定義と言っていいかも。
> 参考書が古いから載ってないのかな･･(汗
単位円上で偏角が (π/3)となるようにとる。余弦はｘ軸と、正弦はｙ軸と、正接はx=1という直線と仲良しですから、今ｘ軸に垂線を下ろすとその交点が・・・ほーら、x=1/2となっているでしょう？だからcos(π/3)=1/2。ちなみに正接と正弦もどうように値を求めることができる。

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■8055 / inTopicNo.11)

　Re[10]: 無限等比級数（S)

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□投稿者/ S山口付き人(69回)-(2006/01/27(Fri) 10:33:43)

ありがとうございました。

> 単位円上で偏角が (π/3)となるようにとる。余弦はｘ軸と、正弦はｙ軸と、正接>はx=1という直線と仲良しですから、今ｘ軸に垂線を下ろすとその交点が・・・ほ>ーら、x=1/2となっているでしょう？だからcos(π/3)=1/2。ちなみに正接と正弦も>どうように値を求めることができる。

うーん、すみません。いまいち理解しきれないです。
cos1/2は60度、というのは勉強したんですが、πが出てくるのは
初めてで・・（汗

余弦はcosのことですよね。cosがx軸と、sinがy軸と仲がいいというのは
分かるんですが、tanがx=1と仲がいいというのはどういうことなんでしょうか？

πのことなんですが、3.14とか関係ないんですよね？

おねがいします。

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■8062 / inTopicNo.12)

　Re[10]: 無限等比級数（S)

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□投稿者/ S山口付き人(76回)-(2006/01/27(Fri) 11:30:48)

すこし勉強して知ったことがあるので追加発言を・・。

＞cos(π/3)=1/2。

cos(π/3)のπがx座標で3が半径。
単位円と言うのは半径を１と考えるから、x座標はπ/3ですよね？
ここからどうやって、角度やらy座標やらを求めるんでしょうか？

おねがいします。

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■8106 / inTopicNo.13)

　Re[11]: 無限等比級数（S)

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□投稿者/ 迷える子羊付き人(78回)-(2006/01/28(Sat) 00:01:07)

■No8062に返信(S山口さんの記事)
> すこし勉強して知ったことがあるので追加発言を・・。
>
> ＞cos(π/3)=1/2。
>
> cos(π/3)のπがx座標で3が半径。
> 単位円と言うのは半径を１と考えるから、x座標はπ/3ですよね？
違いますね。偏角をπ/3ととった時、x座標は1/2ですね。
> ここからどうやって、角度やらy座標やらを求めるんでしょうか？
■No7950でリンクしてあるサイトをよく読んで下さい。大変分かりやすいと思いますが・・・。

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■8219 / inTopicNo.14)

　Re[12]: 無限等比級数（S)

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□投稿者/ S山口付き人(86回)-(2006/01/30(Mon) 04:42:58)

ありがとうございました
ようやく分かりました。
πは180°を表しているんですね。
cosφ＝1/2だと左辺の2が半径、1がx座標を表しているんですね。

問題のほうもようやく理解できました。
長く理解できなくてすみません。
ありがとうございました。
ではー。

解決済み!

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