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■7469 / inTopicNo.1) 　漸化式と数列の極限（S)
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□投稿者/ S山口 一般人(34回)-(2006/01/09(Mon) 00:14:26)
    数列{a_n}は0<a_1<3,a_(n+1)=1+√(1+a_n) (n=1,2,3,..)を
    みたすとき、1)〜4)を示せ。

    1)n=1,2,3,...に対して、0<a_n<3

    2)n=1,2,3,...に対して、3-a_(n+1)=(3-a_n)/[2+√{a_(n)+1}]

    3)n=1,2,3,...に対して、3-a_(n+1)<1/3(3-a_n)

    4)lim[n→∞]a_n=3

    証明問題のようなんですが、歯が立ちません。
    数学的帰納法を使うようなんですが(n=1,n=k,n=k+1をそれぞれ証明する方法）
    うまく使いこなせません。
    できればわかりやすく教えてください。
    おねがいします。
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■7471 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 漸化式と数列の極限（S)
□投稿者/ 迷える子羊 付き人(53回)-(2006/01/09(Mon) 01:25:46)
    典型的な問題ですね。出来るようになっておきましょう。
    > 数列{a_n}は0<a_1<3,a_(n+1)=1+√(1+a_n) (n=1,2,3,..)を
    > みたすとき、1)〜4)を示せ。
    >
    1)n=1の時成り立つ。
    kを自然数としてn=kのとき0<a_k<3の成立を仮定すると、n=k+1の時、0<a_k<3より、
    1<1+a_k<4
    1<√(1+a_k)<2
    2<1+√(1+a_k)<3
    2<a_(k+1)<3
    よって0<a_(k+1)<3となりn=k+1の時も成り立つ。以上よりn=1,2,3,...に対して、0<a_n<3が成り立つ。

    2)、3)も同様に。

    4)は3)の結果を繰り返し用いる。
    0<3-a_n<(1/3)^(n-1)(3-a_1)
    となりはさみうちの原理。

    > 数学的帰納法を使うようなんですが(n=1,n=k,n=k+1をそれぞれ証明する方法）
    > うまく使いこなせません。
    n=k,n=k+1をそれぞれ証明するのではなくて、n=kが成立を仮定した時、n=k+1も成り立つことを示すのですよ。「帰納法」の考え方、大丈夫ですか？
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■7509 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 漸化式と数列の極限（S)
□投稿者/ S山口 一般人(37回)-(2006/01/09(Mon) 23:51:43)
    有難うございました
    ちょっと質問があるんですが、

    ＞1<1+a_k<4
    ＞1<√(1+a_k)<2
    ＞2<1+√(1+a_k)<3
    ＞2<a_(k+1)<3
    ＞よって0<a_(k+1)<3となりn=k+1の時も成り立つ。

    2<a_(k+1)<3で２より大きく３より小さい、というのは分かったのですが
    ＞よって0<a_(k+1)<3となり　というのが分かりません。
    ０より大きいとどこにも書いていないようなんですが
    どうして＞よって0<a_(k+1)<3となり、とできるんでしょうか？

    あと、３番の問題がちょっと解けないので、式を書いてもらえると
    ありがたいです。

    ＞n=k,n=k+1をそれぞれ証明するのではなくて、n=kが成立を仮定した時、n=k+1も＞成り立つことを示すのですよ。「帰納法」の考え方、大丈夫ですか？

    あー、そうだったんですか。帰納法はいまいち理解しきれていない部分が
    ありまして・・・（汗
    気をつけます。有難うございます。

    あ、質問のほう、よければおねがいします。
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■7511 / inTopicNo.4) 　Re[3]: 漸化式と数列の極限（S)
□投稿者/ 迷える子羊 付き人(55回)-(2006/01/10(Tue) 00:25:47)
    > 2<a_(k+1)<3で２より大きく３より小さい、というのは分かったのですが
    > ＞よって0<a_(k+1)<3となり　というのが分かりません。
    > ０より大きいとどこにも書いていないようなんですが
    > どうして＞よって0<a_(k+1)<3となり、とできるんでしょうか？
    ある値（この場合a_nとか）が２より大きいということはつまりゼロよりも大きいということですよね？例えば「100」は「50」よりも大きければ、「100」は当然「50よりも小さい値である0」よりも大きいということになりますよね。

    > あと、３番の問題がちょっと解けないので、式を書いてもらえると
    > ありがたいです。
    n=1の時、
    (左辺)=3-a_2=3-{1+(1+a_1)^(1/2)}=2-(1+a_1)^(1/2)
    (右辺)=(3-a_1)/{2+(2+a_1)^(1/2)}=(有理化して約分)=2-(1+a_1)^(1/2)
    となりn=1のとき成り立つ。
    n=kの時、
    3-a_(k+1)=(3-a_k)/{2+(a_k)^(1/2)}　の成立を仮定して、n=k+1の時、
    (左辺)=3-a_(k+1)=3-[1+{1+a_(k+1)}^(1/2)]=2-{1+a_(k+1)}^(1/2)
    (右辺)=3-a_(k+1)/[2+{1+a_(k+1)}^(1/2)]={3-a_(k+1)}[2-{1+a_(k+1)}^(1/2)]/[2^2-{1+a_(k+1)}]=2-{1+a_(k+1)}^(1/2)
    となりn=k+1の時も成り立つ。
    以上より・・・。
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■7591 / inTopicNo.5) 　Re[4]: 漸化式と数列の極限（S)
□投稿者/ S山口 一般人(38回)-(2006/01/12(Thu) 17:18:21)
    有難うございました。

    >>2<a_(k+1)<3で２より大きく３より小さい、というのは分かったのですが
    >>＞よって0<a_(k+1)<3となり　というのが分かりません。
    >>０より大きいとどこにも書いていないようなんですが
    >>どうして＞よって0<a_(k+1)<3となり、とできるんでしょうか？
    > ある値（この場合a_nとか）が２より大きいということはつまりゼロよりも大きいということですよね？例えば「100」は「50」よりも大きければ、「100」は当然「50よりも小さい値である0」よりも大きいということになりますよね。

    うーん、まだ理解しきれないんですが、
    だったら0<a_(k+1)<3ではなくて、-50<a_(k+1)<3とかでもいいんでしょうか？
    2より大きいのは分かるんですが、0<a_(k+1)<3になるのがやはり分かりません。
    0<a_1<3から一番低い数字を0としているんでしょうか？

    3番の問題を尋ねて、詳しく教えてくださって、とてもありがたいんですが
    えーと、解説してくださった文が二番の問題のように感じるんですが。。（汗
    せっかく教えてくださったのにまた要求して申し訳ないんですが、3番の問題を
    教えてくだされば幸いです。

    おねがいします。
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■7608 / inTopicNo.6) 　Re[5]: 漸化式と数列の極限（S)
□投稿者/ 迷える子羊 付き人(59回)-(2006/01/13(Fri) 00:12:50)
    > >>2<a_(k+1)<3で２より大きく３より小さい、というのは分かったのですが
    > >>＞よって0<a_(k+1)<3となり　というのが分かりません。
    > >>０より大きいとどこにも書いていないようなんですが
    > >>どうして＞よって0<a_(k+1)<3となり、とできるんでしょうか？
    >>ある値（この場合a_nとか）が２より大きいということはつまりゼロよりも大きいということですよね？例えば「100」は「50」よりも大きければ、「100」は当然「50よりも小さい値である0」よりも大きいということになりますよね。
    >
    > うーん、まだ理解しきれないんですが、
    > だったら0<a_(k+1)<3ではなくて、-50<a_(k+1)<3とかでもいいんでしょうか？
    そうですね。そういうことになります。
    > 2より大きいのは分かるんですが、0<a_(k+1)<3になるのがやはり分かりません。
    > 0<a_1<3から一番低い数字を0としているんでしょうか？
    そういう訳ではなくて・・・。例えば、1<x<10を示すのに、4<x<5を示しても問題ないでしょう？4<x<5の方がより高く評価できているし。３番でも同じ考え方を用います。

    （２）の結果と比べて、1/[2+{1+a_n}^(1/2)]<1/3　つまり、
    1<(1+a_n)^(1/2)を示せばよい。
    n=1のとき、0<a_1<3より
    1<1+a_n<4
    1<(1+a_n)^(1/2)<2　よってn=1のとき成り立つ。
    n=kの時、1<(1+a_k)^(1/2)の成立を仮定してn=k+1の時、
    {1+a_(k+1)}
    =1+1+{1+a_k}^(1/2)
    =2+{1+a_k}^(1/2)
    >3
    従って、3^(1/2)<{1+a_(k+1)}^(1/2)となるから
    1<{1+a_(k+1)}^(1/2)が成り立ち、n=k+1の時も成り立つ。以上より・・・。

    ここでも1<√3を使っているのです。これは問題文に書いてある云々ではなくて、先ほど書いた理由によると思います。

    この問題で、a_nを評価する時、上からだと「a_n<3」で一定ですが、下からだと3未満の値をとりながら3に、より厳しく評価されていってますね。従ってa_nの極限値は3であることが分かりますね。
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■7649 / inTopicNo.7) 　Re[6]: 漸化式と数列の極限（S)
□投稿者/ S山口 一般人(44回)-(2006/01/14(Sat) 20:50:46)
    なるほど・・。
    難しいですね。。
    でもなんとか分かったような気がします。
    いろいろと説明してくださって有難うございました。

解決済み!
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