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■7436 / inTopicNo.1) 　背理法を使った証明
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□投稿者/ kamenoko 一般人(20回)-(2006/01/08(Sun) 16:14:40)
    「a,bが有理数で、b≠0ならば、a＋b√2は無理数であることを証明せよ。（√2が無理数であることを用いてもよい。）」
    ・・・・という問題で、

    a＋b√2が有理数であると仮定すると、
    ある有理数ｐに対して a＋b√2＝ｐ
    b≠0より √2＝ｐ－ａ/ｂ
    ところが、ｐ－ａ/ｂは有理数となるので、これは√2が無理数であることに矛盾する。
    よってa＋b√2は無理数である。

    ・・・・というふうに教わったのですが、
    なぜ「b≠0より」と書かなければいけないのですが？
    そこのところを教えてください。
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■7438 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 背理法を使った証明
□投稿者/ Bob 軍団(112回)-(2006/01/08(Sun) 16:49:21)
    ある有理数ｐに対して a＋b√2＝ｐ
    b≠0より √2＝ｐ－ａ/ｂ


    ここの場面でｂ＝０だと困る。　
    ａ／ｂ　で分母は０だと困る。だから問題文の時点で
    ｂ≠０としてる。
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■7439 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 背理法を使った証明
□投稿者/ kamenoko 一般人(22回)-(2006/01/08(Sun) 16:53:12)
    > ここの場面でｂ＝０だと困る。　
    > ａ／ｂ　で分母は０だと困る。だから問題文の時点で
    > ｂ≠０としてる。
    なぜ困るのかもう少し詳しく教えていただけませんか・・・。
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■7441 / inTopicNo.4) 　Re[3]: 背理法を使った証明
□投稿者/ 迷える子羊 一般人(48回)-(2006/01/08(Sun) 18:34:07)
    ■No7439に返信(kamenokoさんの記事)
    >>ここの場面でｂ＝０だと困る。　
    >>ａ／ｂ　で分母は０だと困る。だから問題文の時点で
    >>ｂ≠０としてる。
    > なぜ困るのかもう少し詳しく教えていただけませんか・・・。

    数をゼロでわることは出来ないから、即ちナントカ割るゼロというのは定義されないのです。割り算の考え方を思い出してください。例えば割る２というのは２が何個入っているか調べているわけで、・・・割るゼロのように「ゼロというなにもないものが何個入っているか」という意味不明な命題が出来上がってしまうからです。文字を分母にもってくる時、注意して下さい。
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■7443 / inTopicNo.5) 　Re[4]: 背理法を使った証明
□投稿者/ kamenoko 一般人(26回)-(2006/01/08(Sun) 18:49:02)
    ・・・・でも、
    ｐ－ａ/ｂ で
    ｂ＝0 としても
    ｐ－ａ/ｂ＝０ となって有理数（０は有理数だから）となるのではないでしょうか・・。

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■7444 / inTopicNo.6) 　Re[5]: 背理法を使った証明
□投稿者/ 迷える子羊 一般人(49回)-(2006/01/08(Sun) 19:06:18)
    > ・・・・でも、
    > ｐ－ａ/ｂ で
    > ｂ＝0 としても
    分母をゼロにするわけにはいかないのですよ。定義されないから。だから「b=0」とするという行為自体意味不明なのです。

    > ｐ－ａ/ｂ＝０ となって有理数（０は有理数だから）となるのではないでしょうか・・。
    なぜ、p-a/bがゼロとなるのですか？
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■7448 / inTopicNo.7) 　Re[6]: 背理法を使った証明
□投稿者/ kamenoko 一般人(27回)-(2006/01/08(Sun) 20:29:10)
    > なぜ、p-a/bがゼロとなるのですか？
    b＝0 とすると、
    有理数－有理数/0＝有理数÷0＝有理数×0＝0
    （例：3-2/3÷0＝1/3÷0＝1/3×0＝0のように）となるのではないでしょうか・・・？
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■7452 / inTopicNo.8) 　Re[7]: 背理法を使った証明
□投稿者/ リストっち 付き人(76回)-(2006/01/08(Sun) 21:05:39)
    ■No7448に返信(kamenokoさんの記事)
    >>なぜ、p-a/bがゼロとなるのですか？
    > b＝0 とすると、
    > 有理数－有理数/0＝有理数÷0＝有理数×0＝0
    > （例：3-2/3÷0＝1/3÷0＝1/3×0＝0のように）となるのではないでしょうか・・・？
    横レス失礼します．
    0で割ってはいけない理由は，確かこんな風に教わりました．
    任意の実数α,βについて，
    α*0=β*0が成り立つ．
    もし，仮に0で割れるのだとすれば，
    α*0/0=β*0/0
    よって両辺0/0が共通しているので，割り算して，α=β
    よって矛盾する．
    ∴0では割ると，演算が成り立つなくなるので，割れないものとする．
    こんな感じだったと思います．
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■7456 / inTopicNo.9) 　Re[8]: 背理法を使った証明
□投稿者/ kamenoko 一般人(28回)-(2006/01/08(Sun) 21:29:33)
    ・・・・ということは、
    a＋b√2＝ｐ
    b＝0 なら、a＝p となり
    aとbが等しいことはわからないので b≠0とする。
    ・・・・と考えてもいいのですか？

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■7458 / inTopicNo.10) 　Re[9]: 背理法を使った証明
□投稿者/ 迷える子羊 付き人(50回)-(2006/01/08(Sun) 21:49:08)
    リストっちさん、ありがとうございます。なるほど。演算が成り立たなくなるのか。
    ７４４３dで、
    ｐ－ａ/ｂ で
    ｂ＝0とすると、p-a/bはマイナス∞になると思いますが？b=0の時a/bは∞である値pから∞を引くと全体としてp-a/bはマイナス∞になると思います。ちゃんと書けば、
    lim[b→0](p-a/b)=-∞　ですかな。

    > ・・・・ということは、
    > a＋b√2＝ｐ
    > b＝0 なら、a＝p となり
    > aとbが等しいことはわからないので b≠0とする。
    > ・・・・と考えてもいいのですか？

    「aとbが等しいかわからないからb≠0とする」というより、
    aとbが等しいか分からない場合は、「等しい時」と「等しくない時」で場合分けすればいいのではないでしょうか。
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■7460 / inTopicNo.11) 　Re[10]: 背理法を使った証明
□投稿者/ kamenoko 一般人(29回)-(2006/01/08(Sun) 22:05:47)
    2006/01/08(Sun) 22:06:45 編集(投稿者)

    んー、
    >lim[b→0](p-a/b)=-∞
    とかは（数ⅠAは既習）まだ習っていないのでよくわかりません。
    なんだか質問していくうちに良く分からなくなってきました。
    とりあえず、証明問題ではゼロで割ってはいけないと考えたら良いのですよね？
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■7462 / inTopicNo.12) 　Re[11]: 背理法を使った証明
□投稿者/ リストっち 付き人(77回)-(2006/01/08(Sun) 22:44:49)
    2006/01/08(Sun) 22:45:38 編集(投稿者)
    ■No7460に返信(kamenokoさんの記事)
    > 2006/01/08(Sun) 22:06:45 編集(投稿者)
    >
    > んー、
    > >lim[b→0](p-a/b)=-∞
    > とかは（数ⅠAは既習）まだ習っていないのでよくわかりません。
    > なんだか質問していくうちに良く分からなくなってきました。
    > とりあえず、証明問題ではゼロで割ってはいけないと考えたら良いのですよね？

    証明問題というか，どの問題でも，ゼロで割ってはだめです．

    たとえば，「xの方程式ax=b(a,b実数)を解け．」という問題でも，
    単に，x=b/aと書けば，間違いです（aが0のときはaで割れないので）．
    正しくは，

    a=0,b=0のとき　すべての実数．
    a=0，b≠0のとき　解なし．
    a≠0のとき　　x=b/a．

    となります．
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■7464 / inTopicNo.13) 　Re[12]: 背理法を使った証明
□投稿者/ kamenoko 一般人(30回)-(2006/01/08(Sun) 22:51:15)
    迷える子羊ならびリストっちさん、どうもありがとうございました。
    これからもよろしくお願いします。

解決済み!
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