数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 積分です～ / Page: 0]

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■7389 / inTopicNo.1)

　積分です～

▼■

□投稿者/ kyana 一般人(3回)-(2006/01/07(Sat) 21:17:08)

１、1/(e^3x-e^x)
２、e^2x/(e^x+1)^2
３、x^3/√(x^2+1)
４、1/cosx
５、cos^2xsinx/(1+cosx)
上すべて積分です～　
わかる方、おねがいしまっす！！

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■7404 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 積分です～

▲▼■

□投稿者/ だるまにおん大御所(922回)-(2006/01/07(Sat) 22:27:52)

∫1/{e^(3x)-e^x}dx
=∫e^x/{e^(4x)-e^(2x)}dx
=∫1/(t^4-t^2)dt　　(e^x=t)
=∫1/{t^2(t^2-1)}dt
=∫{1/(t^2-1)-1/t^2}dt
=(1/2)∫1/(t-1)dt-(1/2)∫1/(t+1)-∫1/t^2dt
=(1/2)log|t-1|-(1/2)log|t+1|+1/t+C
=(1/2)log|(e^x-1)/(e^x+1)|+1/e^x+C

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■7408 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 積分です～

▲▼■

□投稿者/ だるまにおん大御所(924回)-(2006/01/07(Sat) 22:55:35)

∫e^(2x)/(e^x+1)^2dx
=∫{(e^x+1)^2-2e^x-1}/(e^x+1)^2dx
=∫1dx-2∫e^x/(e^x+1)^2dx-∫1/(e^x+1)^2dx　(♪)
ここでe^x+1=tと置換すると
∫e^x/(e^x+1)^2dx=∫1/t^2dt=-1/t=-1/(e^x+1)
∫1/(e^x+1)^2dx=∫1/{(t-1)t^2}dt=∫{-1/t^2-1/t+1/(t-1)}dt
=1/t-logt+log(t-1)=1/(e^x+1)-log(e^x+1)+xなので
(♪)⇔1/(e^x+1)+log(e^x+1)

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■7410 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 積分です～

▲▼■

□投稿者/ robot 一般人(17回)-(2006/01/07(Sat) 23:00:00)

(2) ∫{e^2x/(e^x+1)^2} dx
=∫{t/(t+1)^2}dt 【 e^x = t　とする】
　 =∫{(t+1-1)/(t+1)^2}dt
=∫{1/(t+1) -1/(t+1)^2}dt
=log|t+1| - 1/(t+1) + C
=log|e^x +1| -1/(t+1) +C
=log(e^x +1) -1/(t+1) +C

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■7411 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 積分です～

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□投稿者/ だるまにおん大御所(925回)-(2006/01/07(Sat) 23:01:26)

√(x^2+1)=tとおくと
t^2=x^2+1なのでx^2=t^2-1
また、dt/dx=x/√(x^2+1)だから
∫x^3/√(1+x^2)dx
=∫(x^2)(x/√(1+x^2))dx
=∫(t^2-1)dt
=t^3/3-t
=(x^2+1)√(x^2+1)/3-√(x^+1)
=(1/3)(x^2-2)√(x^2+1)+C

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■7412 / inTopicNo.6)

　Re[2]: 積分です～

▲▼■

□投稿者/ robot 一般人(19回)-(2006/01/07(Sat) 23:02:50)

訂正
(2) ∫{e^2x/(e^x+1)^2} dx
=∫{t/(t+1)^2}dt 【 e^x = t　とする】
　 =∫{(t+1-1)/(t+1)^2}dt
=∫{1/(t+1) -1/(t+1)^2}dt
=log|t+1| - 1/(t+1) + C
=log|e^x +1| -1/(e^x +1) +C
=log(e^x +1) -1/(e^x +1) +C

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■7413 / inTopicNo.7)

　Re[4]: 積分です～

▲▼■

□投稿者/ だるまにおん大御所(926回)-(2006/01/07(Sat) 23:10:04)

∫1/cosxdx
=∫cosx/(cosx)^2dx
=∫cosx/(1-(sinx)^2)dx
=∫1/(1-t^2)dt　(t=sinx)
=(1/2)log|t+1|-(1/2)log|t-1|
=(1/2)log|sinx+1|-(1/2)log|sinx-1|+C

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■7414 / inTopicNo.8)

　Re[1]: 積分です～

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□投稿者/ robot 一般人(20回)-(2006/01/07(Sat) 23:13:31)

(5) ∫{cos^2xsinx/(1+cosx)}dx
　【cosx = t とすると，dt/dx = -sinx より，sinx dx = -dt 】
　　与式 =∫{t^2/(1+t)}(-dt)
=-∫[{(1+t)(t-1)+1}/(1+t)]dt
　　　　 =-∫{(t-1) +1/(1+t)}dt
　　　　 =-t^2 +t -log|t+1| +C
=-cos^2 x +cosx -log|cosx +1| +C
=-cos^2 x +cosx -log(cosx +1) +C

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■7416 / inTopicNo.9)

　Re[2]: 積分です～

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□投稿者/ robot 一般人(21回)-(2006/01/07(Sat) 23:20:49)

■No7414に返信(robotさんの記事)
訂正あり

(5) ∫{cos^2xsinx/(1+cosx)}dx
　【cosx = t とすると，dt/dx = -sinx より，sinx dx = -dt 】
　　与式 =∫{t^2/(1+t)}(-dt)
=-∫[{(1+t)(t-1)+1}/(1+t)]dt
　　　　 =-∫{(t-1) +1/(1+t)}dt
　　　　 =-1/2 t^2 +t -log|t+1| +C
=-1/2 cos^2 x +cosx -log|cosx +1| +C
=-1/2 cos^2 x +cosx -log(cosx +1) +C

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■7417 / inTopicNo.10)

　Re[5]: 積分です～

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□投稿者/ だるまにおん大御所(927回)-(2006/01/07(Sat) 23:21:09)

∫cos^2xsinx/(1+cosx)dx
=-∫t^2/(1+t)dt　(t=cosx)
=-∫{(t+1)^2-2t-1}/(1+t)dt
=-∫(t+1)dt+∫(2t+2-1)/(t+1)dt
=-∫(t+1)dt+∫2dt-∫1/(1+t)dt
=-t^2/2+t-log|t+1|
=-(cosx)^2/2+cosx-log|cosx+1|+C

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■7423 / inTopicNo.11)

　Re[6]: 積分です～

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□投稿者/ だるまにおん大御所(932回)-(2006/01/07(Sat) 23:43:40)

robotさん江

No7412の
>=∫{1/(t+1) -1/(t+1)^2}dt
>=log|t+1| - 1/(t+1) + C
ここが違います。

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