 | ■No7288に返信(shoさんの記事)
> 定積分の値を求める問題で、解き方が全然わからない問題が2問あったので、詳しい解説お願いします。
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> ①∫[π/2→2π/3] √(1+cosx)dx
[解]
√(1+cosx) = √(1+cosx)√(1-cosx)/√(1-cosx)
= √(1-cos^2 x)/√(1-cosx)
= √(sin^2 x)/√(1-cosx)
= | sin x |/√(1-cosx) 【π/2≦x≦2π/3のとき，sinx>0 より】
= sinx /√(1-cosx)
また, cosx = t とすると， x：π/2→2π/3 より， t:0→-1/2
dt/dx = -sinx より， sinx dx = -dt を用いて，与式を変形する。
与式 = ∫[π/2→2π/3] sinx dx/√(1-cosx)
= ∫[ 0 →-1/2] -dt/√(1-t)
と変形するとよい。
> ②∫[0→π/4] (tanx)^3 dx
[解]
tan^3 x = tan^2 x ×tanx
=( -1 + 1/cos^2 x) tanx
より，与式を変形する。
与式 = ∫[0→π/4] ( -1 + 1/cos^2 x) tanx dx
= -∫[0→π/4]tanx dx +∫[0→π/4]sinx dx/cos^3 x
ここで，第一式は∫tanx dx = log|cosx| であることを用い，第二式はcosx = tと置き，sinx dx = -dt であることを用いて変形するとよい。
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