 | 置換積分で解けるのでしょうか？
私は変形しまくる方が良いと思います。
まず、3倍角の公式を変形します。
cos3x=4(cosx)^3-3cosx
⇒(cosx)^3=(cos3x+3cosx)/4
両辺2乗すると
(cosx)^6=(cos3x+3cosx)^2/16
=(1/16){(cos3x)^2+6cosxcos3x+9(cosx)^2}
ここで、半角の公式より
(cos3x)^2=(1+cos6x)/2
(cosx)^2=(1+cos2x)/2
積→和の公式より
cosxcos3x=(1/2)(cos4x+cos2x)
ですから、(積分範囲は[0→π/2]で)
∫(cosx)^6dx
=(1/16)∫{(cos3x)^2+6cosxcos3x+9(cosx)^2}dx
=(1/16)∫{(1+cos6x)/2+6(1/2)(cos4x+cos2x)+9(1+cos2x)/2}dx
=(1/32)∫(1+cos6x+6cos4x+6cos2x+9+9cos2x)dx
=(1/32)∫(cos6x+6cos4x+15cos2x+10)dx
=(1/32)[sin6x/6+(3/2)sin4x+(15/2)sin2x+10x]
=(1/32)(0+0+0+5π)
=5π/32
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