数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[11]: 教えてください。 / Page: 0]

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■7118 / inTopicNo.1)

　教えてください。

□投稿者/ 冥一般人(1回)-(2006/01/02(Mon) 22:11:58)

この問題がわからないので、どなたか教えてください。

Oを原点とする座標空間において、3点A(1,0,1),B(-1,1,1),Q(0,t,0)(ただし、t≠1/2)がある。3点A,B,Qを通る平面をαとし、αとx軸の交点をP、αとz軸との交点をRとする。
(1)P,Rの座標をtで表せ。
(2)Pのx座標、Qのy座標、Rのz座標の全てが正となるようなtの値の範囲を求めよ。
(3)tが(2)でもとめた範囲を変化するとき、四面体OPQRの体積の最小値と、そのときのtの値を求めよ。

よろしくお願いします。

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■7119 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 教えてください。

▲▼■

□投稿者/ リストっち一般人(49回)-(2006/01/02(Mon) 22:28:10)
http://d.hatena.ne.jp/pro_pitagora/

■No7118に返信(冥さんの記事)
> この問題がわからないので、どなたか教えてください。
>
> Oを原点とする座標空間において、3点A(1,0,1),B(-1,1,1),Q(0,t,0)(ただし、t≠1/2)がある。3点A,B,Qを通る平面をαとし、αとx軸の交点をP、αとz軸との交点をRとする。
> (1)P,Rの座標をtで表せ。
> (2)Pのx座標、Qのy座標、Rのz座標の全てが正となるようなtの値の範囲を求めよ。
> (3)tが(2)でもとめた範囲を変化するとき、四面体OPQRの体積の最小値と、そのときのtの値を求めよ。
>
> よろしくお願いします。

(1)Pはx軸上にあるので，P(p,0,0)とおけます．ここで，↑OP=↑p，↑OA=↑a，
↑OB=↑b，↑OQ=↑qとおくと，Pはα上にあり，↑a，↑b，↑pは，それぞれ1次独立なので，↑p=k ↑a+l ↑b+m ↑q　，k+l+m=1を満たす実数k,l,mが存在します．
よって，
(p,0,0)=k(1,0,1)+l(-1,1,1)+m(0,t,0)=(k-l,l+mt,k+l)
それぞれ比較して，
k-l=p・・・〔イ〕
l+mt=0・・・〔ロ〕
k+l=0・・・〔ハ〕
k+l+m=1・・・〔ニ〕
〔ハ〕，〔ニ〕より，m=1
〔ロ〕より，l=-mt=-t
〔ハ〕より，k=-l=mt=t
〔イ〕より，t-(-t)=p　∴p=2t　よって，P(2t,0,0)

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■7120 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 教えてください。

▲▼■

□投稿者/ リストっち付き人(50回)-(2006/01/02(Mon) 22:33:06)
http://d.hatena.ne.jp/pro_pitagora/

訂正です．
2行目
×↑a,↑b，↑pはそれぞれ1次独立なので，・・・
○↑a,↑b，↑qはそれぞれ1次独立なので，・・・

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■7121 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 教えてください。

▲▼■

□投稿者/ リストっち付き人(51回)-(2006/01/02(Mon) 22:40:21)
http://d.hatena.ne.jp/pro_pitagora/

2006/01/03(Tue) 01:35:22 編集(投稿者)
2006/01/02(Mon) 22:49:51 編集(投稿者)
2006/01/02(Mon) 22:45:28 編集(投稿者)
2006/01/02(Mon) 22:41:28 編集(投稿者)

■No7118に返信(冥さんの記事)
> この問題がわからないので、どなたか教えてください。
>
> Oを原点とする座標空間において、3点A(1,0,1),B(-1,1,1),Q(0,t,0)(ただし、t≠1/2)がある。3点A,B,Qを通る平面をαとし、αとx軸の交点をP、αとz軸との交点をRとする。
> (1)P,Rの座標をtで表せ。
> (2)Pのx座標、Qのy座標、Rのz座標の全てが正となるようなtの値の範囲を求めよ。
> (3)tが(2)でもとめた範囲を変化するとき、四面体OPQRの体積の最小値と、そのときのtの値を求めよ。
>
> よろしくお願いします。
(1)続きです．
Rはz軸上にあるので，R(0,0,r)として，↑OR=↑rとすると，さっきと同様に，Rはα上にあるので，
↑r=h ↑a+i ↑b+j ↑q，h+i+j=1を満たす実数h,i,jが存在します．
よって，
(0,0,r)=h(1,0,1)+i(-1,1,1)+j(0,t,0)=(h-i,i+jt,h+i)
それぞれ比較して，
h-i=0・・・〔い〕
i+jt=0・・・〔ろ〕
h+i=r・・・〔は〕
h+i+j=1・・・〔に〕
〔い〕より，h=i
これを〔に〕に代入して，2i+j=1　 ∴j=1-2i・・・〔ほ〕
これを，〔ろ〕に代入して，i+(1-2i)t=0
i=t/(2t-1)=h
ゆえに，r=h+i=2h=2t/(2t-1)
よって，R(0,0,2t/(2t-1))です．

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■7122 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 教えてください。

▲▼■

□投稿者/ リストっち付き人(52回)-(2006/01/02(Mon) 22:53:40)
http://d.hatena.ne.jp/pro_pitagora/

2006/01/03(Tue) 01:45:28 編集(投稿者)
2006/01/03(Tue) 01:38:07 編集(投稿者)

(2)
P(2t,0,0),Q(0,t,0),R(0,0,2t/(2t-1))
それぞれx座標，y座標，z座標が正なので，
2t>0・・・〔甲〕
t>0・・・〔乙〕
2t/(2t-1)>0・・・〔丙〕
〔甲〕〔乙〕より，t>0・・・♪
〔丙〕より，t>1/2，t<0・・・♪♪ですから，
これら♪，♪♪の共通範囲を考えて，t>1/2です．

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■7124 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 教えてください。

▲▼■

□投稿者/ リストっち付き人(53回)-(2006/01/02(Mon) 23:21:39)
http://d.hatena.ne.jp/pro_pitagora/

■No7122に返信(リストっちさんの記事)
> (2)
> P(2t,0,0),Q(0,t,0),R(0,0,(t-1)/(2t-1))
> それぞれx座標，y座標，z座標が正なので，
> 2t>0・・・〔甲〕
> t>0・・・〔乙〕
> (t-1)/(2t-1)>0・・・〔丙〕
> 〔甲〕〔乙〕より，t>0・・・♪
> 〔丙〕より，t<1/2，1<t・・・♪♪ですから，
> これら♪，♪♪の共通範囲を考えて，0<t<1/2，1<tです．
>

四面体の体積は，1/3・t・2t・(t-1)/(2t-1)=1/3・{2t^2(t-1)/(2t-1)}
{ }内=f(t)とすると，f(t)=t^2-1/2t-1/4-1/4(2t-1))
f'(t)2t-1/2+1/2(2t-1)^2
f'(t)=0とすると，t=0になってしまいました・・・．
おかしいなぁ・・・．こうなると，最小値なしになるんですが・・・．
だれかご指摘願います・・・．

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■7127 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 教えてください。

▲▼■

□投稿者/ 迷える子羊一般人(27回)-(2006/01/03(Tue) 00:03:26)

> 四面体の体積は，1/3・t・2t・(t-1)/(2t-1)=1/3・{2t^2(t-1)/(2t-1)}
> { }内=f(t)とすると，f(t)=t^2-1/2t-1/4-1/4(2t-1))
> f'(t)2t-1/2+1/2(2t-1)^2
> f'(t)=0とすると，t=0になってしまいました・・・．
> おかしいなぁ・・・．こうなると，最小値なしになるんですが・・・．
> だれかご指摘願います・・・．

えーと、{ }内をf(t)としたのですから、f(t)=2(t-1)t^2/(2t-1)で、
f'(t)=2(4t-5)t^2/(2t-1)^2となりましたよ。
で、t>0を考えて、f'(t)はt=5/4の前後で符号が変わる。
従って・・・。

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■7131 / inTopicNo.8)

　Re[6]: 教えてください。

▲▼■

□投稿者/ らすかる軍団(144回)-(2006/01/03(Tue) 00:32:17)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

> えーと、{ }内をf(t)としたのですから、f(t)=2(t-1)t^2/(2t-1)で、
> f'(t)=2(4t-5)t^2/(2t-1)^2となりましたよ。

f(t)=2(t-1)t^2/(2t-1) なら、
f'(t)=2t(4t^2-5t+2)/(2t-1)^2 となるのでは？

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■7132 / inTopicNo.9)

　Re[7]: 教えてください。

▲▼■

□投稿者/ リストっち付き人(54回)-(2006/01/03(Tue) 00:38:43)
http://d.hatena.ne.jp/pro_pitagora/

■No7131に返信(らすかるさんの記事)
>>えーと、{ }内をf(t)としたのですから、f(t)=2(t-1)t^2/(2t-1)で、
>>f'(t)=2(4t-5)t^2/(2t-1)^2となりましたよ。
>
> f(t)=2(t-1)t^2/(2t-1) なら、
> f'(t)=2t(4t^2-5t+2)/(2t-1)^2 となるのでは？

>らすかるさん
私もそうなりました．

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■7134 / inTopicNo.10)

　Re[8]: 教えてください。

▲▼■

□投稿者/ リストっち付き人(55回)-(2006/01/03(Tue) 00:42:27)
http://d.hatena.ne.jp/pro_pitagora/

■No7132に返信(リストっちさんの記事)
> ■No7131に返信(らすかるさんの記事)
> >>えーと、{ }内をf(t)としたのですから、f(t)=2(t-1)t^2/(2t-1)で、
> >>f'(t)=2(4t-5)t^2/(2t-1)^2となりましたよ。
>>
>>f(t)=2(t-1)t^2/(2t-1) なら、
>>f'(t)=2t(4t^2-5t+2)/(2t-1)^2 となるのでは？
>
> >らすかるさん
> 私もそうなりました．
>
てことは，それまでのところに何か問題あったのでしょうか．

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■7135 / inTopicNo.11)

　Re[8]: 教えてください。

▲▼■

□投稿者/ 迷える子羊一般人(30回)-(2006/01/03(Tue) 00:43:40)

■No7132に返信(リストっちさんの記事)
> ■No7131に返信(らすかるさんの記事)
> >>えーと、{ }内をf(t)としたのですから、f(t)=2(t-1)t^2/(2t-1)で、
> >>f'(t)=2(4t-5)t^2/(2t-1)^2となりましたよ。
>>
>>f(t)=2(t-1)t^2/(2t-1) なら、
>>f'(t)=2t(4t^2-5t+2)/(2t-1)^2 となるのでは？
>
> >らすかるさん
> 私もそうなりました．

そうですね。確かにそうなりました。あー情けない。やはり、2005年に学力を置き忘れてきたようなので取りに行ってきます。（泣）

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■7138 / inTopicNo.12)

　Re[9]: 教えてください。

▲▼■

□投稿者/ らすかる軍団(145回)-(2006/01/03(Tue) 01:28:44)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

> てことは，それまでのところに何か問題あったのでしょうか．

平面αの方程式を x+ay+bz+c=0 として各座標を代入してa,b,cを求めると、
a=2, b=2t-1, c=-2t となり、平面αの方程式は x+2y+(2t-1)z-2t=0 となります。
従って、Pの座標は y=z=0 としてxを求めると x=2t となり P=(2t,0,0)
Rの座標は x=y=0 としてzを求めると z=2t/(2t-1) となり R=(0,0,2t/(2t-1))
Rの座標が違うようですね。

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■7140 / inTopicNo.13)

　Re[10]: 教えてください。

▲▼■

□投稿者/ リストっち付き人(57回)-(2006/01/03(Tue) 01:33:29)
http://d.hatena.ne.jp/pro_pitagora/

■No7138に返信(らすかるさんの記事)
>>てことは，それまでのところに何か問題あったのでしょうか．
>
> 平面αの方程式を x+ay+bz+c=0 として各座標を代入してa,b,cを求めると、
> a=2, b=2t-1, c=-2t となり、平面αの方程式は x+2y+(2t-1)z-2t=0 となります。
> 従って、Pの座標は y=z=0 としてxを求めると x=2t となり P=(2t,0,0)
> Rの座標は x=y=0 としてzを求めると z=2t/(2t-1) となり R=(0,0,2t/(2t-1))
> Rの座標が違うようですね。
あ，やっと間違いの箇所がわかりました．修正します．
ということは，(2)もめちゃくちゃですね．編集してきます．

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■7145 / inTopicNo.14)

　Re[11]: 教えてください。

▲▼■

□投稿者/ らすかる軍団(146回)-(2006/01/03(Tue) 01:44:22)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

ついでですから、続きを求めてみました。

(2)
Pのx座標は2tですから、これが正となるのは t＞0
Qのy座標はtですから、これが正となるのは t＞0
Rのz座標は2t/(2t-1)ですから、これが正となるのは
2t/(2t-1)＞0 これを解くと t＜0, t＞1/2
従ってtの範囲は t＞1/2

(3)
四面体OPQRの体積は 2t×t×2t/(2t-1)÷6=(2/3)t^3/(2t-1)
f(t)=t^3/(2t-1) とすると f'(t)=t^2(4t-3)/(2t-1)^2
従ってt=3/4でf'(t)が負から正に変わるので、
t=3/4の時体積の最小値は (2/3)(3/4)^3/(2(3/4)-1)=9/16

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■7146 / inTopicNo.15)

　Re[11]: 教えてください。

▲▼■

□投稿者/ リストっち付き人(60回)-(2006/01/03(Tue) 01:46:46)
http://d.hatena.ne.jp/pro_pitagora/

■No7140に返信(リストっちさんの記事)
> ■No7138に返信(らすかるさんの記事)
> >>てことは，それまでのところに何か問題あったのでしょうか．
>>
>>平面αの方程式を x+ay+bz+c=0 として各座標を代入してa,b,cを求めると、
>>a=2, b=2t-1, c=-2t となり、平面αの方程式は x+2y+(2t-1)z-2t=0 となります。
>>従って、Pの座標は y=z=0 としてxを求めると x=2t となり P=(2t,0,0)
>>Rの座標は x=y=0 としてzを求めると z=2t/(2t-1) となり R=(0,0,2t/(2t-1))
>>Rの座標が違うようですね。
> あ，やっと間違いの箇所がわかりました．修正します．
> ということは，(2)もめちゃくちゃですね．編集してきます．

無事Rの座標は一致しました．らすかるさん，迷える子羊さん，ご意見本当にありがとうございました．冥さん，困惑させるような回答をしてしまい，申し訳ありません．

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