数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: 積分についての問題 / Page: 0]

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■7093 / inTopicNo.1)

　積分についての問題

□投稿者/ never 一般人(2回)-(2006/01/01(Sun) 23:20:24)

曲線y=6x/(x^2+2)について答えよ。
(１)　yが極大および極小となる点の座標を示し、曲線の概形を描け。
(２)　曲線上の点(1,2)における接線の方程式を示し、その接線が曲線と交わる点の座標を求めよ。
(３)　その接線と曲線で囲まれる図形の面積を求めよ。

という問題なのですが、(１)は、極大　x=√2 , y=(3√2)/2、
極小　x=-√2 , y=-(3√2)/2と求まったのですが、(２)と(３)が良く分かりません。
分かる方がいましたら、なるべく詳しくお願いします。

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■7095 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 積分についての問題

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□投稿者/ 迷える子羊一般人(23回)-(2006/01/01(Sun) 23:37:41)

（２）f'(1)=2/3ですから、y-2=2/3×(x-1)
（３）交点はx=1,-4ですから、求める面積は、
　　　∫[-4→1]｛(2x+4)/3-6x/(x^2+2)｝dxで求まりますか・・・。

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■7104 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 積分についての問題

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□投稿者/ never 一般人(3回)-(2006/01/02(Mon) 02:18:15)

■No7095に返信(迷える子羊さんの記事)
> （２）f'(1)=2/3ですから、y-2=2/3×(x-1)
> （３）交点はx=1,-4ですから、求める面積は、
> 　　　∫[-4→1]｛(2x+4)/3-6x/(x^2+2)｝dxで求まりますか・・・。

返信ありがとうございます。

(２)の交点は曲線の方程式を接線の方程式に代入すればいいのは分かるのですが、
計算途中で-2x^3-4x^2+14x-8=0というところからどのようにして交点２つを求めればいいのか分かりません。

(３)は計算途中で∫[-4→1] {(2x^3+4x^2-14x+8)/3(x^2+2)} dx　となったのですが、ここからどのように計算すればいいでしょうか。

基本的な問題で本当に申し訳ありません。
できれば、途中計算をよろしくお願いします。

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■7108 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 積分についての問題

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□投稿者/ 迷える子羊一般人(25回)-(2006/01/02(Mon) 12:37:21)

（２）(2x+4)/3=6x/(x^2+2)
　　　　(x^2+2)(x+2)=9x
　　　　x^3+2x^2+2x+4=9x
　　　　x^3+2x^2-7x+4=0
　　　　(x-1)(x^2+3x-4)=0
　　　　(x+4)(x-1)^2=0
　　　　
x=1で接するのであるから(x-1)^2を因数にもつので無理なく因数分解できるはず。
（2005年に学力を置き忘れぬよう注意しなきゃ。）

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■7126 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 積分についての問題

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□投稿者/ never 一般人(6回)-(2006/01/02(Mon) 23:59:50)

ご返信ありがとうございます。

すみませんが、できれば7104に書いた(３)もお願いできないでしょうか。
積分が苦手なもので・・・・本当に申し訳ないです。

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■7130 / inTopicNo.6)

　Re[2]: 積分についての問題

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□投稿者/ 迷える子羊一般人(29回)-(2006/01/03(Tue) 00:15:34)

∫[-4→1]｛(2x+4)/3-6x/(x^2+2)｝dx
=2/3∫[-4→1](x+2)dx-6∫[-4→1]{x/(x^2+2)}dx

前半は１次関数の積分、後半はx=√2tanθと置換する置換積分・・・？
この場合、被積分関数を通分するメリットはないと思います。

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■7144 / inTopicNo.7)

　Re[3]: 積分についての問題

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□投稿者/ never 一般人(9回)-(2006/01/03(Tue) 01:43:24)

■No7130に返信(迷える子羊さんの記事)
> ∫[-4→1]｛(2x+4)/3-6x/(x^2+2)｝dx
> =2/3∫[-4→1](x+2)dx-6∫[-4→1]{x/(x^2+2)}dx
>
> 前半は１次関数の積分、後半はx=√2tanθと置換する置換積分・・・？
> この場合、被積分関数を通分するメリットはないと思います。

前半は5/3となりました。
ですが、後半は、置換積分の公式は分かるんですけど、どのように解けばいいか良く分かりません。できれば、途中計算をお願いします。

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■7151 / inTopicNo.8)

　Re[4]: 積分についての問題

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□投稿者/ 迷える子羊一般人(31回)-(2006/01/03(Tue) 02:39:52)

後半は置換が間違ってました。すみません。三角関数をもちださずにフツーにx^2+2=tと置換すると、2xdx=dtで、xが-4→1の時、tは18→3で

∫[-4→1]｛x/(x^2+2)｝dx
　=∫[18→3](1/2t)dt
　=1/2(log3-log18)
　=・・・・・

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■7152 / inTopicNo.9)

　Re[5]: 積分についての問題

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□投稿者/ never 一般人(10回)-(2006/01/03(Tue) 14:51:57)

■No7151に返信(迷える子羊さんの記事)
> 後半は置換が間違ってました。すみません。三角関数をもちださずにフツーにx^2+2=tと置換すると、2xdx=dtで、xが-4→1の時、tは18→3で
>
> ∫[-4→1]｛x/(x^2+2)｝dx
> 　=∫[18→3](1/2t)dt
> 　=1/2(log3-log18)
> 　=・・・・・

ご返信ありがとうございます。

前半が約1.666、後半が約2.334となり、面積が４となりました。
本当にありがとうございました。

解決済み!

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