 | ■No7011に返信(あわわさんの記事)
> ａ、bは実数でf（x）＝Ｘ^2 ＋ аＸ ＋ b とする。α，β がf（x）＝0の異なる2つの実数解とする。、α＾2 ,β＾2がまたf（x）＝0 の異なる2つの実数解であるとき、a、bの値を求めよ
> という問題ですが、解と係数の関係と判別指揮を使うところまではできましたが、ａ、bの値がどうにも求められません。教えてください！
解と係数の関係から，
α+β＝α^2+β^2=-a・・・①
αβ=α^2β^2=b・・・②
(i)α=0のとき
①より，β=β^2 α≠βより，β≠0
ゆえに，β=1
これらは題意を満たす．よって，①②に代入して，-a=1，ゆえに，a=-1 b=0
(ii)α≠0のとき
β=0の場合は，(i)とおなじなので，β≠0となるので，
②より，αβ=1 ゆえに，b=1
そこで，β=1/αなので，
α+1/α=α^2+1/α^2=(α+1/α)^2-2
α+1/α=t・・・④とおくと，t=t^2-2
t^2-t-2=0 (t-2)(t+1)=0 t=2，-1
[1]t=2のとき
④に代入して整理すると，(α-1)^2=0 ∴α=1となるが，このときβ=1よりα≠βに反する．
[2]t=-1のとき
④に代入すると，
α^2+α+1=0 これは実数解を持たない（判別式D=1-4=-3<0より）．
よっていずれの場合も不適なので，(ii)の場合はありえない．
以上から，求めるa,bは a=-1,b=0である．
なんか面倒くさいですね．ぱっとやっただけなので，もっといい方法があるかもしれません．
|