数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: eの定義 / Page: 0]

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■6827 / inTopicNo.1)

　eの定義

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□投稿者/ Help 一般人(1回)-(2005/12/25(Sun) 01:00:17)

eの定義が　e=lim x→±∞ (1+1/x)^x　
これがなぜなりたつのでしょうか。定義だからこうなるものと覚えるしかないのでしょうか？

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■6828 / inTopicNo.2)

　Re[1]: eの定義

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□投稿者/ helaven 一般人(1回)-(2005/12/25(Sun) 02:01:10)

それを解析的に近似計算すると一定値eに近づく，とゆうものです．
一般的な極限はハサミウチの定理など様々な手法で計算可能ですが，eに関してはπと同じ扱いで，コンピューターに計算させたり，手で延々と計算しなければ求められない値です．
ちなみに，こうゆう手法で人間が考え出した数値を「超越数」と呼びます．もっとも，今までにπとe以外発見されておりませんが．

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■6829 / inTopicNo.3)

　Re[2]: eの定義

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□投稿者/ らすかる軍団(113回)-(2005/12/25(Sun) 02:30:25)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

■No6828に返信(helavenさんの記事)
> 今までにπとe以外発見されておりませんが．
超越数はπ,eの他に e^π, 2^√2, sin1, log2 等がありますね。

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■6830 / inTopicNo.4)

　Re[3]: eの定義

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□投稿者/ Help 一般人(2回)-(2005/12/25(Sun) 02:43:51)

書き込みありがとうございます。
分からない問題があるので解き方を教えていただけないでしょうか？
lim x→0 log(1+2x)/x
できるだけ詳しくお願いします。

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■6832 / inTopicNo.5)

　Re[4]: eの定義

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□投稿者/ らすかる軍団(114回)-(2005/12/25(Sun) 04:13:16)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

t=1/2x とおくと
lim[x→0]log(1+2x)/x
=lim[t→±∞]2tlog(1+1/t)
=2lim[t→±∞]log{(1+1/t)^t}
=2log{lim[t→±∞](1+1/t)^t}
=2log(e)
=2

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■6835 / inTopicNo.6)

　Re[5]: eの定義

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□投稿者/ Help 一般人(3回)-(2005/12/25(Sun) 13:06:09)

だいたいはわかりました。
[4]のらすかるさんの解答の中で
limとlogの順序が入れ替わっていますが。これは公式か何かですか。確かにこうなるようにも思えますが、なかなか納得できません。どなたか、教えてください。

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■6837 / inTopicNo.7)

　Re[6]: eの定義

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□投稿者/ らすかる軍団(116回)-(2005/12/25(Sun) 13:52:34)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

連続関数は、limの外に出せます。limとlogを交換することは
結構ありますので、単に「limとlogは交換可能」と覚えて
おけば問題ないと思います。

似たようなことはやっていると思います。
例えば、通常途中計算は書きませんが、
lim[x→2]x^3=(lim[x→2]x)^3=2^3=8
とか
lim[x→9]√x=√(lim[x→9]x)=√9=3
のように考えて計算しますよね。これと同じことです。

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■6838 / inTopicNo.8)

　Re[6]: eの定義

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□投稿者/ Help 一般人(6回)-(2005/12/25(Sun) 13:58:42)

また分からない問題がありました。
lim[x→0]{(3^x)-1}/x（答えはlog3ですが、解き方が分かりません）。

あと、もう１つ。lim[x→0]{(e^x)-1}/x=1というのは知っています。これを拡張すると
lim[x→0]{(a^x)-1}/x=loga
となりますか？

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■6839 / inTopicNo.9)

　Re[7]: eの定義

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□投稿者/ 迷える子羊一般人(12回)-(2005/12/25(Sun) 15:14:31)

■No6838に返信(Helpさんの記事)
> また分からない問題がありました。
> lim[x→0]{(3^x)-1}/x（答えはlog3ですが、解き方が分かりません）。

lim[h→0]｛f(x+h)-f(x)｝/hがf(x)の第１次導関数です。（微分の定義）
今、f(x)=3^xで、第１次導関数のx=0の値そのものになっているので・・・。

> あと、もう１つ。lim[x→0]{(e^x)-1}/x=1というのは知っています。これを拡張すると
> lim[x→0]{(a^x)-1}/x=loga
> となりますか？

なりますよー。

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■6841 / inTopicNo.10)

　Re[8]: eの定義

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□投稿者/ Help 一般人(7回)-(2005/12/25(Sun) 17:02:43)

なんとなくは分かりますが、まだ理解できません。具体的にはどのように解けばいいのでしょうか？

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■6858 / inTopicNo.11)

　Re[10]: eの定義

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□投稿者/ Help 一般人(10回)-(2005/12/25(Sun) 22:49:54)

　[6]のらすかるさんの回答のなかの連続関数とはどのようなものですか？logのほかには何がありますか。また、連続関数でないものにはどんなものがありますか？
　あと、
lim[x→0] {(3^x)-1}/x
この問題が分かりません。だれか教えてくれないでしょうか。できるだけ詳しくお願いします。

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■6859 / inTopicNo.12)

　Re[10]: eの定義

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□投稿者/ らすかる軍団(117回)-(2005/12/26(Mon) 00:35:48)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

e^x とか sinx など、グラフを書いた時に途中で切れずに
１本の線（曲線や折れ線でも良い）になるものが連続関数です。
f(x)=[x] （ガウス記号）とか tanx のような関数は、
連続関数ではありません。ただし、連続関数でなくても、
極限をとる値が不連続点でなければ、やはりlimの外に出せます。

3^x=e^(xlog3) なので
y=xlog3 とおくと
lim[x→0](3^x-1)/x
=lim[y→0](e^y-1)/(y/log3)
=log3・lim[y→0](e^y-1)/y
=log3

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■6860 / inTopicNo.13)

　Re[11]: eの定義

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□投稿者/ Help 一般人(11回)-(2005/12/26(Mon) 00:55:18)

よくわかりました。みなさんどうもありがとうございました。

解決済み!

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