 | 命題 P(n) を 「|∑[i=1→n] ai| ≦ ∑[i=1→n] |ai| が成り立つ」
と置きます。その前に
三角不等式
任意の実数 a, b に対して |a + b| ≦ |a| + |b| が成り立ちます。
(↑ a, b の符号、|a|, |b| の大小によって場合わけして示します。)
(命題の証明)
(1) |a1| ≦ |a1| が成り立ちます("＝" なので)。よって P(1) は真です。
(2) P(k) が真であると仮定します。したがって、ひとまず「この k のみ」
に対して |∑[i=1→k] ai| ≦ ∑[i=1→k] |ai| が成り立ちます。
(3) すると
|∑[i=1→k+1] ai|
＝ |(∑[i=1→k] ai) + a[k+1]|
≦ |∑[i=1→k] ai| + |a[k+1]| (三角不等式より)
≦ ∑[i=1→k] |ai| + |a[k+1]| (帰納法の仮定より)
＝ ∑[i=1→k+1] |ai|
から P(k+1) が成り立つことが分かります。
数学的帰納法より、任意の自然数 n に対して命題 P(n) が成り立ちます。
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