 | ■No6675に返信(qwertyuさんの記事)
> シグマｋ３乗の帰納法による証明をお願いします。
[証]
∑[k=1→n]k^3 = 1/4 n^2 (n+1)^2 …(♯）
数学的帰納法を用いると、
n=1のときは，(左辺)=1, 右辺=1より，(♯)は成立する。
n=kのとき(♯)は成り立つと仮定すると，
∑[j=1→k]j^3 = 1/4 k^2 (k+1)^2 …(♯)
両辺に(k+1)^3を加えると，
∑[j=1→k]k^3 + (k+1)^3 = 1/4 k^2 (k+1)^2 + (k+1)^3
∑[j=1→k+1]k^3 = (k+1)^2[1/4 k^2 +(k+1)]
= (k+1)^2 1/4(k^2+4k+4)
= 1/4 (k+1)^2 (k+2)^2
これは(♯)において， n=k+1のとき成立していることを示している。
以上より，自然数nに対して，(♯)は成立する。
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