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■6559 / inTopicNo.1)

　数と式

□投稿者/ ユー一般人(1回)-(2005/12/14(Wed) 23:04:57)

ａ，ｂを実数とし、ｘの整式Ａ，Ｂを

Ａ＝x^2+ax+b 　Ｂ＝x^2+x+1

とする。ただし、ＡとＢは等しくないものとする。

(１)等式　Ａ^2＋Ｂ^2＝2x^4+6x^3+3x^2+cx+d

が成り立つとき、ａ＝ア、ｂ＝－イ、ｃ＝－ウ、ｄ＝エ　である。

(２)等式　Ａ^2－Ｂ^2＝(Ａ－Ｂ)(Ａ＋Ｂ)＝{(a-1)x+(b-1)}{オx^3+(a+カ)x+b+1}★

を考える。Ａ-Ｂがｘ-１で割り切れるのはキのときであり、またＡ＋Ｂがｘ-１で割り切れるのはクのときである。よってＡ－ＢとＡ＋Ｂが同時にｘ-１で割り切れることはない。ただし、キ、クについては、次の①～⑤の中から当てはまるものをそれぞれ一つずつ選べ。

①ａ＋ｂ＝０　②ａ－ｂ＝０　③ａ＋ｂ－２＝０　

④ａ＋ｂ＋４＝０　⑤ａ－ｂ－２＝０

したがって、Ａ^2－Ｂ^2が(x-1)^2★で割り切れるのは、Ａ＋Ｂが(x-1)^2で割り切れる場合である。このとき

ａ＝－ケ、ｂ＝コ、Ａ^2＋Ｂ^2＝サシスx(x-1)^2

この問題がわかりません。
ア、イ、ウ、エ、はひたすら計算すればいいのですか？
何だか計算が合いません・・・
簡単な解法などあるんでしょうか？
（２）からもどう計算すればいいのかわかりません。
回答お願いします。

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■6570 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数と式

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□投稿者/ 納豆一般人(27回)-(2005/12/15(Thu) 10:57:40)

まず（１）と（２）
（１）は普通に展開すれば言いと思います。
A^2=x^4+2ax^3+(a^2+2b)x^2+2abx+b^2
B^2=x^4+2x^3+3x^2+2x+1
A^2+B^2=2x^4+(2a+2)x^3+(a^2+2b+3)x^2+(2ab+2)x+b^2+1
Ａ^2＋Ｂ^2＝2x^4+6x^3+3x^2+cx+dと見比べて、
2a+2=6,a^2+2b+3=3,2ab+2=c,b^2+1=dを解けば、
a=2,b=-2,c=-6,d=5になります。

（２）
A^2-B^2=(A-B)(A+B)={(x^2+ax+b)-(x^2+x+1)}{(x^2+ax+b)+(x^2+x+1)}
　　　　　　　　　={(a-1)x+b-1}{2x^2+(a+1)x+b+1}
よって、オ=2,カ=1

まとめると、
ア＝２、イ＝２、ウ＝６、エ＝５、オ＝２、カ＝１

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■6571 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 数と式

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□投稿者/ 納豆一般人(28回)-(2005/12/15(Thu) 11:14:57)

後半
A-Bがx-1で割り切れるとき、
A-B=(a-1)x+(b-1)
f(x)=(a-1)x+(b-1)とすると、
x-1で割り切れるので、因数定理からf(1)=0になります。
よって、f(1)=a-1+b-1=0
ゆえに、a+b-2=0
従って、キ＝③

次に、A+Bがx-1で割り切れるときも同様に、
A+B=2x^2+(a+1)x+b+1
f(x)=2x^2+(a+1)x+b+1とすると、
因数定理から、f(1)=0になります。
よって、f(1)=2+(a+1)+b+1=0
ゆえに、a+b+4=0
従って、ク＝④になります。

A^2-B^2が(x-1)^2で割り切れるときは、
A+Bが(x-1)^2で割り切れるので、
A+B=2x^2+(a+1)x+b+1
がx^2+2x+1で割り切れなければならないので、x^2+2x+1を２倍して
2x^2+4x+2=2x^2+(a+1)x+b+1になります。
よって、a=-5,b=1です。
これを、A^2-b^2の式に代入して、A^2-B^2=-12x(x-1)^2
ケ＝５、コ＝１、サ＝－、シ＝１、ス＝２になります。

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