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■6507 / inTopicNo.1) 　数列
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□投稿者/ なつ 一般人(1回)-(2005/12/12(Mon) 19:32:37)
    a(1)=3,a(n+1)=1/2*{a(n)+4/a(n)}(n=1,2,3・・・)によって定められる数列{a(n)}について以下の問いにこたえよ。
    （１）a(n)＞2となることを数学的帰納法により証明せよ
    （２）a(n+1)-2＜1/2*(a(n)-2)となることを示せ
    （３）lim[n→∞]a(n)を求めよ

    この問題のやり方がわかりません。
    教えてください。
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■6508 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 数列
□投稿者/ X 大御所(342回)-(2005/12/12(Mon) 19:41:18)
    （１）
    (i)n=1のときはＯＫ
    (ii)n=kのときに成立を仮定します。つまり
    a(k)>2 (A)
    このとき問題の漸化式より
    a(k+1)=1/2*{a(k)+4/a(k)} (B)
    (A)よりa(k)>0であることが分かりますから、(B)の右辺に相加平均と相乗平均の関係を使うことができまして…。
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■6510 / inTopicNo.3) 　Re[1]: 数列
□投稿者/ X 大御所(343回)-(2005/12/12(Mon) 19:49:33)
    （２）
    問題の漸化式を使うと
    a(n+1)-2-1/2*(a(n)-2)
    =(1/2){a(n)+4/a(n)}-2-1/2*(a(n)-2)
    =2/a(n)-1
    ={2-a(n)}/a(n)<0
    (∵)（１）の結果より

    （３）
    （１）（２）の結果を利用してはさみうちの原理を使います。
    （２）の結果により
    a(n)-2＜(1/2)(a(n-1)-2)＜…＜{(1/2)^(n-1)}(a(1)-2)
    ∴a(1)=3を代入すると
    a(n)-2＜(1/2)^(n-1) (A)
    次に（１）の結果より
    0＜a(n)-2 (B)
    (A)(B)から
    0＜a(n)-2＜(1/2)^(n-1)
    ですから…。
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