 | 極限の問題について分からないのが出てきましたので、質問させてください。
rを正の定数とする。極限値lim[n→∞]{(r^(n-1) - 3^(n+1)}/{r^n + 3^(n-1)}を求めよ。
という問題です。他のこのような問題では往々にして
-1<r<1, r=1, r=-1, r<-1,r>1のように分けていました(例えば、r^n/{2 + r^(n+1)}の極限を求めるときなど)。
しかし解答を見ると、0<r<3, r=3, 3<rの3つに分けています。どうしてでしょうか。
r^n/{2 + r^(n+1)}と{(r^(n-1) - 3^(n+1)}/{r^n + 3^(n-1)}では、極限を求めるときに分け方が違ってくる理由を教えてください。
また、0<r<3のときの計算で、分母と分子をr^nで割っています。これはなぜでしょうか。
あと、これも極限の問題なのですが、
数列{a[n](x)}はa[n](x)={sin^(2n+1)x}/{sin^(2n)x + cos^(2n)x}(0≦x≦π)で定められたとする。この数列の極限値lim[n→∞]a[n](x)を求めよ。
という問題で、これもまた分け方の話になってくるのですが、sinに関しては、sinx=1のときx=π/2，sinx=-1のときx=3π/2(今回は0≦x≦πなので関係ありませんが)，それら以外のとき，という風に分けていましたが、いかんせん、今回はcosがついてがついていますので、どう対処すればよいのか分かりません。どういった視点でこの式を見て、場合分けすればよいのでしょうか。
宜しくお願いいたします。
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