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■6361 / inTopicNo.1) 　ベクトル内積の問題
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□投稿者/ ごり 一般人(3回)-(2005/12/08(Thu) 22:35:48)
    平面上に４点、O(0,0)、A(0,2)、B(2,0)、C(√3,1)がある。Pが線分AB上を動くとき△OPCの面積の最大値を求めよ。全然わかりません。お願いします。
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■6370 / inTopicNo.2) 　Re[1]: ベクトル内積の問題
□投稿者/ X 大御所(326回)-(2005/12/09(Fri) 09:18:11)
    2005/12/09(Fri) 15:02:27 編集(投稿者)

    まず条件より
    線分AB：y=2-x (0≦x≦2)
    ですので
    P(t,2-t)
    但し
    0≦t≦2 (A)
    と置くことができます。
    ここで
    直線OC:y=x/√3
    ですから、△OPCにおいて、OCを底辺見た場合の高さをHとすると、点と直線との距離の公式により
    H=|2-t-t/√3|/√(4/3)=|2√3-t(1+√3)|/2
    よって△OPCの面積をSとすると
    S=(1/2)OC・H=(1/2){|2√3-t(1+√3)|/2}・2
    =|2√3-t(1+√3)|/2 (B)
    (A)における(B)の最大値を求めます。（グラフを描きましょう。）
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■6371 / inTopicNo.3) 　Re[1]: ベクトル内積の問題
□投稿者/ 納豆 一般人(24回)-(2005/12/09(Fri) 09:24:29)
    3点(0,0)(a,b)(c,d)からなる三角形の面積は1/2|ad-bc|になります。
    (| |←は絶対値）これを使います。

    直線ＡＢの方程式は、y=-x+2なので、
    点Ｐのx座標をpとおくと、点Ｐは（p,-p+2)と表せます。
    ここで、上の面積の公式を用いると、
    △OPC=1/2|(1+√3)p-2√3|になります。
    これの最大値は、p=0の時なので、
    最大値は√3 （P(0,2)の時）


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■6372 / inTopicNo.4) 　Re[2]: ベクトル内積の問題
□投稿者/ 納豆 一般人(25回)-(2005/12/09(Fri) 09:42:48)
    ■No6370に返信(Xさんの記事)
    OCの長さは、√(4/3)ではなく、２ではないですか？


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■6374 / inTopicNo.5) 　Re[1]: ベクトル内積の問題
□投稿者/ X 大御所(327回)-(2005/12/09(Fri) 15:04:34)
    >>納豆さんへ
    ご指摘ありがとうございます。その通りですね。レスを訂正しました。
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■6379 / inTopicNo.6) 　Re[2]: ベクトル内積の問題
□投稿者/ ごり 一般人(4回)-(2005/12/09(Fri) 19:07:46)
    度々申し訳ありません。面積を求める式までは理解できたのですが、0≦t≦2における最大値が０というのはどのようなグラフで求めればt＝０で最大だとわかるのでしょうか？それともただ０または２をそれぞれ代入して面積が大きいほうを最大としているのでしょうか？初歩的で申し訳ないのですがよろしくお願いします。
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■6382 / inTopicNo.7) 　Re[3]: ベクトル内積の問題
□投稿者/ X 大御所(329回)-(2005/12/09(Fri) 19:55:40)
    2005/12/09(Fri) 20:07:28 編集(投稿者)

    S=|2√3-t(1+√3)|/2
    =|t-2√3/(1+√3)|(1+√3)/2
    =|t-(3-√3)|(1+√3)/2 (B)'
    よって横軸にt、縦軸にSを取ると、(B)'のグラフは
    点(3-√3,0)
    を頂点とするV字型のグラフになります。
    ここで
    0<3-√3<2
    ですから頂点(3-√3,0)は問題の定義域内に含まれます。
    よってSの最大値はt=0,2のときのSの値の内の大きい方になります。
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■6384 / inTopicNo.8) 　Re[4]: ベクトル内積の問題
□投稿者/ ごり 一般人(5回)-(2005/12/09(Fri) 20:22:10)
    絶対値があるのでV字型のグラフになるのですね。全然気がつきませんでした。本当に感謝します。有難うございました。
解決済み!
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