数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[7]: 積分 / Page: 0]

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■6342 / inTopicNo.1)

　積分

□投稿者/ クーヘー一般人(1回)-(2005/12/08(Thu) 19:20:42)

初めまして。
以下の問題がどうしても解けません・・・。
どなたか教えてください。

x=π-tと置換することにより次の等式を証明せよ。
∫[0→π]xf(sinx)dx=π/2∫[0→π]f(sinx)dx

また上のことを用いて次の積分を求めよ
∫［0→π］x(sinx)^2dx

∫［0→π］x(sinx)^3dx

よろしくお願いします

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■6345 / inTopicNo.2)

　Re[2]: 積分

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□投稿者/ だるまにおん大御所(728回)-(2005/12/08(Thu) 19:35:13)

最初の問題は言われたことをやるのみです。
∫[0→π]xf(sinx)dxにおいてx=π-tと置換すると
=∫[π→0](π-t)f(sint)(-dt)
=∫[0→π](π-t)f(sint)dt
=∫[0→π](π-x)f(sinx)dx
∴∫[0→π]xf(sinx)dx=π/2∫[0→π]f(sinx)dx

この事実より下の定積分たちが解けます。
∫[0→π]x(sinx)^2dx=π/2∫(sinx)^2dx
∫[0→π]x(sinx)^3dx=π/2∫(sinx)^3dx

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■6349 / inTopicNo.3)

　Re[3]: 積分

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□投稿者/ クーヘー一般人(2回)-(2005/12/08(Thu) 19:57:13)

∫[0→π](π-t)f(sint)dt
=∫[0→π](π-x)f(sinx)dx
となるところが良くわからないのですが・・・・。
ここのところをお願いします。

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■6351 / inTopicNo.4)

　Re[4]: 積分

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□投稿者/ だるまにおん大御所(731回)-(2005/12/08(Thu) 20:02:39)

定積分においては文字(xやtやθ)が何であろうと最終的には同じものになります。

∫[0→1]x^2dxと∫[0→1]t^2dtと∫[0→1]θ^2dθ　全部1/3ではありませんか？

∫[0→π]sinxdxと∫[0→π]sinθdθはどちらも2になりはしませんか？

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■6352 / inTopicNo.5)

　Re[5]: 積分

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□投稿者/ クーヘー一般人(3回)-(2005/12/08(Thu) 20:13:47)

はい。たしかになります。
でも、どうしてもまだ
∫[π→0](π-t)f(sint)(-dt)
=∫[0→π](π-t)f(sint)dt
（=∫[0→π](π-x)f(sinx)dx）
となるところがわからなくて・・・・。もう少し助言を・・・。

お手数だと思いますがよろしくお願いします。

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■6354 / inTopicNo.6)

　Re[6]: 積分

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□投稿者/ だるまにおん大御所(732回)-(2005/12/08(Thu) 20:20:43)

-∫[β→α]f(x)dx=∫[α→β]f(x)dxとなることを使いました。
より具体的に言うと、
∫[π→0](π-t)f(sint)(-dt)
=-∫[π→0](π-t)f(sint)dt
=∫[0→π](π-t)f(sint)dt　　（←ここで使いました。）

分らなかったのはここですか？
何回、どんな質問をされても構いませんので、わかるまでやりましょう。

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■6355 / inTopicNo.7)

　Re[7]: 積分

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□投稿者/ クーヘー一般人(4回)-(2005/12/08(Thu) 20:24:05)

これで納得できました。
何度も何度も有難うございました。
また何かあったときにはよろしくお願いします。

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