 | x^2+mx+2=0 (A)
x^2+nx-2=0 (B)
とします。
(１)
共通な解をαとおくと、αは２つの方程式を両方とも満たすので
α^2+mα+2=0 (C)
α^2+nα-2=0 (D)
(C)-(D)より
(m-n)α+4=0
∴α=4/(n-m)
(２)
(１)の結果を(C)(D)いずれかに代入してm,nを求めます。
例えば(C)に代入すると
16/(n-m)^2+4m/(n-m)+2=0
両辺に(1/2)(n-m)^2をかけると
8+2m(n-m)+(n-m)^2=0
∴8-m^2+n^2=0
∴m^2-n^2=8
∴(m-n)(m+n)=8
よってm,n整数であることから
(m-n,m+n)=(1,8),(2,4),(4,2),(8,1),(-1,-8),(-2,-4),(-4,-2),(-8,-1) (E)
が候補として挙げられます。
これら(m-n,m+n)の組それぞれについてm,nの連立方程式と見て解き、整数となるようなm,nの組を求めていくわけですが、一々計算するのも面倒ですので代入して確かめられる形にします。
今
(m-n,m+n)=(k,l)
であるとすると
m-n=k (F)
m+n=l (G)
(F)(G)をm,nの連立方程式と見て解き
(m,n)=((k+l)/2,(-k+l)/2) (H)
(E)を(k,l)の値として(H)に代入して整数となるようなm,nの組を求めましょう。
（m=(k+l)/2
によりk+lは偶数である必要がありますので、
k,lは両方とも偶数、或いは両方とも奇数のいずれかになる
必要があります。このことから候補が絞り込めます。）
(３)
(１)(２)の結果を利用します。
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