 | 2005/12/03(Sat) 23:14:36 編集(投稿者)
> 実数x,yに対して 0<x<y, x+y=1 ならば x<x＾2+y＾2<y が
> 成り立つことを証明せよ。
0<x<y, x+y=1より、0 < x < 1/2が言えます。
(仮にx+y=1でx>1/2だとすると、y<xとなってしまうのでこれでは0<x<yという条件に反してしまう。)
まず、x^2+y^2-xが正であることを言います。
x+y=1より、y=1-xを代入して、
x^2 + y^2 - x
= x^2 + (1-x)^2 - x
=2x^2 - 3x + 1
=(x-1)(2x-1) ＞ 0
(x < 1/2より、
2x < 1
2x-1 < 0
x-1 < 0より、負×負＞0)
同様にして、y-(x＾2+y＾2)が正であることを言います。
y - (x＾2 + y＾2)
= (1-x) - {x^2 + (1-x)^2}
= -2x^2 + x
= x(-2x + 1) ＞ 0
(x < 1/2より、
-2x > -1
-2x + 1 > 0
x>0より、正×正＞0)
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