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問題の意図とは違う解き方かもしれませんが
※「三角形ＡＢＣの内接円と辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢとの接点がＤ，Ｅ，Ｆ」から
図形的に長さを求めると（ここが求められている解き方と違っていそうです)
AE＝AF＝(AB＋AC−BC)/2＝1/2
BD＝BF＝(BC＋BA−CA)/2＝3/2
CD＝CE＝(CA＋CB−AB)/2＝5/2
よって
AF：FB＝1：3，BD：DC＝3：5，CE：EA＝5：1
(1)「BD：DC＝3：5」より、ベクトルの基本から
AD↑＝(5AB↑＋3AC↑)/8
(2)「AF：FB＝1：3，CE：EA＝5：1」よりAPの延長線とBCの交点をQとして、
図形的に比を求めると（ここも求められている解き方と違っていそうです)
BP：PE＝8：15，CP：PF＝20：3
AP：PQ＝8：15，BQ：QC＝3：5 が求められ
BQ：QC＝3：5＝BD：DC で、QとDが一致することがわかります。
よって
AP：PD＝AP：PQ＝8：15
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