 | うまく変数を置き換えます。
x^2+y^2=1 (A)
とします。
①
この場合、(A)とf(x,y)はいずれもx,yの対称式ですので、最も簡単な対称式
x+y,xy
で置き換えることを考えます。
ただし、その際にx,yについての実数条件を忘れずに挙げて下さい。
(A)より
(x+y)^2-2xy=1
∴x+y=t,xy=u (B)
と置くと、(A)は
t^2-2u=1
∴u=(t^2-1)/2 (C)
(B)(C)を用いると
f(x,y)=(x+y)^3-3xy(x+y)
=t^3-3ut
=t^3-3t(t^2-1)/2
=-t(t^2-3)/2 (D)
ここで(B)よりx,yはsについての二次方程式
s^2-ts+u=0 (E)
の解となります。よって(E)の解の判別式をDとすると
D=t^2-4u≧0
これに(C)を代入すると
t^2-2(t^2-1)≧0
∴-√2≦t≦√2 (F)
(F)の条件の元でtに対する(D)の増減を調べます。
（(D)をtで微分しましょう。）
②
この場合はf(x,y)はx,yの対称式ではありませんので、別の方法の置き換えを考えます。
(A)により
x=cost
y=sint
(但し0≦t<2π)
と置くことができます。
このとき
f(x,y)=cost+2sint
=√5sin(t+α)
(但しαは
cosα=2/√5,sinα=1/√5
なる角)
よってf(x,y)の値の範囲は…。
補足：
①の場合は②のような置き換えを使うこともできます。
但し、
・三角関数の微分が使える
・三角関数の変形に自信がある
のいずれでもなければ避けたほうが無難です。
（三角関数の変形だけでうまく値の範囲がわかるようにできるかと試してみましたが、私はできませんでした。
どなたかうまい変形方法はありませんでしょうか？。）
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