 | ■No603に返信(レイさんの記事)
図がないので、問題を取り違えているかもしれませんが･･･
(いろいろ考えられますが素朴に･･･です)
正六角形ABCDEFと、長方形PQRSで、AB//PQとします。
面積が最大になることから、
PはAF上に,QはAC上に,RはCD上に,SはEF上に、それぞれあるはずなので、
AD,BE,CFの交点をOとして、正三角形AOFをつかって、考えてみます。
A,PからOFに下ろした垂線の足をH,Kとし、
PからOFに平行に引いた直線とAHの交点をLとします。
＊2PK、2OK が、長方形の縦、横になるので、
AP＝m (0＜m＜1)として、長方形の面積をmの関数であらわしてます。
まず、
△APLを考えて、AP＝m、AL＝{(√3)/2}m、LP＝(1/2)m
△AOHを考えて、AO＝1、AH＝(√3)/2、OH＝(1/2)
以上から、
PK＝LH＝AH−AL＝{(√3)/2}−{(√3)/2}m＝{(√3)/2}{1−m}
OK＝OH＋HK＝OH＋LP＝(1/2)＋(1/2)m＝(1/2)(1＋m)
さらに、2PK、2OK が、長方形の縦、横より
2PK＝(√3){1−m}、2OK＝(1＋m)
面積は、(√3){1−m}＊(1＋m)＝(√3){1−m^2}
(1)正方形なので、2PK＝2OK より
(√3){1−m}＝(1＋m) を解いて
m＝2−√3 のときとなりますので、
これを代入し、(√3){1−(2−√3)^2}＝6(2−√3)
(2)f(m)＝(√3){1−m^2}として、(0＜m＜1)で最大値を求めると
f(m)＝−(√3)m^2＋√3 で
m＝0 のとき、最大値√3 となります
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