 | [1]
(y + z)/x = (z + 7x)/y = (x - y)/z = t と置きます。
すると連立一次方程式
tx - y - z = 0 ･･･ (1)
7x - ty + z = 0･･･ (2)
x - y - tz = 0 ･･･ (3)
が得られます。この方程式は自明でない解 (x, y, z ≠ 0) を
持つ必要があります。(1) + (2), t(1) - (3) から
(t + 7)x - (t + 1)y = 0 ･･･ (4)
(t^2 - 1)x - (t - 1)y = 0･･･ (5)
であり y を消去すると
{(t + 1)(t^2 - 1) - (t - 1)(t + 7)}x = 0
(t - 1)(t^2 + t - 6)x = 0
(t - 1)(t + 3)(t - 2)x = 0
x ≠ 0 であるためには t = -3, 1, 2 のいずれかである必要が
あります。
t = -3 のとき(4), (5)から 4x + 2y = 0, 8x + 4y = 0
であり y = -2x となります。式(1)から z = -3x + 2x = x
であり x, y, z ≠ 0 となるので t = -3 は妥当です。
t = 1 のとき(4), (5)から 8x - 2y = 0 であり y = 4x です。
式(1)から z = x - 4x = -3x となり妥当です。
t = 2 のとき(4), (5)から 9x - 3y = 0, 3x - y = 0 であり
y = 3x です。式(1)から z = 2x - 3x = -x となり妥当です。
以上から等式の値は「t = -3, 1, 2」です。
[2]
(a) 2x^4 + 5x^3 - x^2 - 11x + 5 < 0
因数定理を駆使しましょう。
(左辺) = 2x^4 + 5x^3 - x^2 - 11x + 5
= (x - 1)(2x^3 + 7x^2 + 6x - 5)
= 2(x - 1)(x - 1/2)(x^2 + 4x + 5) [← 際どい]
= 2(x - 1)(x - 1/2)((x + 2)^2 + 1).
これが負になるのは x - 1, x - 1/2 が異符号のときです。
すなわち x < 1, x > 1/2 ⇒ 「1/2 < x < 1」のときです。
(b) (x^2 - 3x + 2)(x - a) > 0
(左辺) = (x - 1)(x - 2)(x - a).
a < 1 のとき a < x < 1 または x > 2.
a = 1 のとき x > 2.
1 < a < 2 のとき 1 < x < a または x > 2.
a = 2 のとき x > 1 かつ x ≠ 2.
a > 2 のとき 1 < x < 2 または x > a.
[3]
P(x) = (x + 1)(x - 2)Q(x) + ax + b と置きます。
剰余の定理から
P(-1) = -a + b = -2
P(2) = 2a + b = 7
なので a = 3, b = 1 です。したがって余りは
「3x + 1」です。
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