 | かなり面倒になりました。もっとシンプルにできるかもしれません。
円の半径を R1 ≧ R2 として考えましょう。
まず、共通接線 AB, 半径 O1A, O2B, 線分 O1O2 を引きます。
円の接点 C を通る共通接線を延長して AB と交わる点を D と
置き、線分 CD を引きます。このとき、いくつか読み取れる事実
を列挙してみます:
O1A⊥AB, O2B⊥AB, O1O2⊥CD
|O1A| = |O1C| = R1, |O2B| = |O2C| = R2, |DA| = |DB| = |DC|
これからまず AB の長さが出ます。点 O2 から半径 O1A に下ろした
垂線の足を F と置くと、四角形 ABO2F は長方形ですから |O2F| = |AB|
です。また |O1F| = R1 - R2 なので三平方の定理から
|AB|^2 = |O1O2|^2 - |O1F|^2
= (R1 + R2)^2 - (R1 - R2)^2
= 4R1 R2
すなわち「|AB| = 2√(R1 R2)」です。
次に AC と O1D の交点を G, BC と O2D の交点を H と置きます。
また、O1D は AC の垂直二等分線、O2D は BC の垂直二等分線です。
まず AC の長さを求める前に |O1D| を求めます。|AD| = √(R1 R2),
|AO1| = R1 で三平方の定理から |O1D| = √(R1^2 + R1 R2) となります。
ここで直角三角形 AO1G, ADG を用いて
√(|AO1|^2 - |AG|^2) + √(|AD|^2 - |AG|^2) = |O1D|
です。左辺第２項を右辺に移項して、両辺２乗します:
√(R1^2 - |AG|^2) = √(R1^2 + R1 R2) - √(R1 R2 - |AG|^2)
R1^2 - |AG|^2 = R1^2 + R1 R2 - 2√(R1^2 + R1 R2) √(R1 R2 - |AG|^2) + R1 R2 - |AG|^2.
整理すれば
√(R1^2 + R1 R2) √(R1 R2 - |AG|^2) = R1 R2
(R1 R2 - |AG|^2) = (R1 R2)^2 / (R1^2 + R1 R2)
|AG|^2 = R1 R1 R2 / (R1 + R2)
|AG| = √R1 √( R1 R2 / (R1 + R2) )
ここで |AC| = 2|AG| より
「|AC| = 2√R1 √( R1 R2 / (R1 + R2) )」です。
同様に「|BC| = 2√R2 √( R1 R2 / (R1 + R2) )」です。
また |AB| = 2√(R1 + R2) √( R1 R2 / (R1 + R2) ) なので
|AC| : |BC| : |AB| = √R1 : √R2 : √(R1 + R2) です。
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