数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 平均値の定理 / Page: 0]

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■59 / inTopicNo.1)

　平均値の定理

□投稿者/ hotshot 一般人(4回)-(2005/04/14(Thu) 15:39:36)

平均値の定理に関する問題なんですが分かりません。

関数 f(x) = x^a について平均値の定理を用いて、a>1 , x>1 のとき次の不等式が成り立つことを証明せよ。

a(x-1) < x^a-1 < a(x^(a-1))(x-1)

お願いしますm(..)m。

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■60 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 平均値の定理

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□投稿者/ X 一般人(2回)-(2005/04/14(Thu) 17:15:04)

f(x)=x^(a-1)のタイプミスだとして解きます。

a>1,x>1　①
ゆえ、f(x)に対して平均値の定理より
{1/(x-1)}∫[1→x]f(x)dx=f(k)　②
1<k<x　③
なるkが存在する
②よりk^(a-1)=(1/a)(x^a-1)/(x-1)　④
又①よりa-1>0ゆえ②より1<k^(a-1)<x^(a-1)　⑤
④を⑤に代入して
1<(x^a-1)/{a(x-1)}<x^(a-1)　⑥
ここで①よりa>0,x-1>0ゆえa(x-1)>0
∴⑥の各辺にa(x-1)をかけると
a(x-1)<x^a-1<x^(a-1){a(x-1)}=a{x^(a-1)}(x-1)

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■65 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 平均値の定理

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□投稿者/ hotshot 一般人(5回)-(2005/04/14(Thu) 19:52:57)

ありがとうございましたｍ(。。)ｍできました。

タイプミスではなく、問題がそうなっていました。
問題のミスなのかなぁ。

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■70 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 平均値の定理

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□投稿者/ 豆一般人(14回)-(2005/04/14(Thu) 23:30:12)

■No65に返信(hotshotさんの記事)

問題のミスじゃないと思います。
Xさんは平均値の定理を積分形で表示されましたが、普通の微分形だと問題ないはずです。

f(x)=x^aとおいた時、f'(x)=ax^(a-1)ですから、
1＜k＜xとしたとき、
(f(x)-f(1))/(x-1)=f’(k)　となるｋが存在する(平均値の定理)。
代入すれば、(x^a-1)/(x-1)=ak^(a-1)　(*)
さて、1＜k＜xですから、
1^(a-1)＜k^(a-1)＜x^(a-1)
aを掛けて、
a＜ak^(a-1)＜ax^(a-1)
(*)を代入して、
a＜(x^a-1)/(x-1)＜ax^(a-1)
∴a(x-1)＜x^a-1＜ax^(a-1)(x-1)

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■76 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 平均値の定理

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□投稿者/ X 一般人(3回)-(2005/04/15(Fri) 09:44:51)

>>豆さんへ
ご指摘ありがとうございます。

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■77 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 平均値の定理

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□投稿者/ hotshot 一般人(6回)-(2005/04/15(Fri) 09:57:15)

豆さん、ありがとうございます。できました！

積分形の平均値の定理と微分形の平均値の定理で、なぜ違いが生じるんでしょうか？

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■78 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 平均値の定理

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□投稿者/ 豆一般人(16回)-(2005/04/15(Fri) 13:08:29)

■No77に返信(hotshotさんの記事)

何も違いはないですよ．
ただ，積分形式か微分形式かで，1階分の表現の差は当然生じます．
Xさんの書かれた式と私の書いた式をよく見れば分かるはずです．
Xさんの書かれた表現をf(x)の不定積分をF(x)をして表現したら，
(F(x)-F(1))/(x-1)=f(k)=k^(a-1)
f(k)からF(x)を計算
私の書いた式は，
(f(x)-f(1))/(x-1)=f’(k)=ax^(a-1)
f(x)からf’(k)を計算
本質的には何の違いもありません．

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