 | ガリガリ計算するのならば、以下のようになります。
条件から線分BCの方程式は
x=0,z=-y/3+1(0≦y≦3)
ですから点Qの座標は(0,3-3t,t)(0≦t≦1)
と置くことができます。
∴直線EQの方程式は
x=0,y=1+{(2-3t)/t}z
ですからEQとz軸との交点は(0,0,t/(3t-2))
よって平面AEQの方程式は
x/2+y/1+z/{t/(3t-2)}=1
つまり
tx+2ty+2(3t-2)z=2t (A)
一方、四面体OAEQの体積をV,点Qからy軸に下ろした垂線の足をRとすると
V=(1/3)OA・{(1/2)OE・RQ}
=(1/3)・2t/2
=t (B)
又(A)と原点Oとの距離をHとすると点と平面との間の距離の公式により
H=|2t|/√{t^2+4t^2+4(3t-2)^2}
=2t/√(41t^2-48t+16) (C)
更に△AEQの面積をSとすると
V=(1/3)SH (D)
(B)(C)(D)より
(1/3)S・2t/√(41t^2-48t+16)=t
∴S=(3/2)√(41t^2-48t+16)
=(3/2)√{41(t-24/41)^2+16-(24^2)/41}
=(3/2)√{41(t-24/41)^2+(656-576)/41}
=(3/2)√{41(t-24/41)^2+80/41}
ですからSはt=24/41のとき最大値(3/2)√(80/41)=12√(5/41)=(12/41)√205
を取ります。よって
△AEQの面積の最大値は(12/41)√205(このときQ(0,51/41,24/41))
(↑QE,↑QAの内積により、sin∠AQEを求めてSを計算する方法もありますが、途中計算が煩雑になります。)
|