 | 部分積分により
f(z)=[(1/z){e^(zx)}cosx](-Π/2→Π/2)+(1/z)∫(-Π/2→Π/2){e^(zx)}sinxdx
=(1/z)∫(-Π/2→Π/2){e^(zx)}sinxdx
=(1/z)[(1/z){e^(zx)}sinx](-Π/2→Π/2)-(1/z^2)∫(-Π/2→Π/2){e^(zx)}cosxdx
=(1/z^2)(e^(zΠ/2)+e^(-zΠ/2))-(1/z^2)f(z)
∴(1+1/z^2)f(z)=(1/z^2)(e^(zΠ/2)+e^(-zΠ/2))
∴f(z)={e^(zΠ/2)+e^(-zΠ/2)}/(1+z^2) (A)
よって
f'(z)=[(Π/2){e^(zΠ/2)-e^(-zΠ/2)}(1+z^2)-2z{e^(zΠ/2)+e^(-zΠ/2)}]/(1+z^2)^2
ここで{e^(zΠ/2)+e^(-zΠ/2)}>{e^(zΠ/2)-e^(-zΠ/2)}
ですから
f'(z)<[(Π/2){e^(zΠ/2)-e^(-zΠ/2)}(1+z^2)-2z{e^(zΠ/2)-e^(-zΠ/2)}]/(1+z^2)^2
∴f'(z)<{e^(zΠ/2)-e^(-zΠ/2)}{(Π/2)(1+z^2)-2z}/(1+z^2)^2 (B)
更に
g(z)=(Π/2)(1+z^2)-2z
と置くと
g(z)=(Π/2)(z-2/Π)^2+Π/2-2/Π
=(Π/2)(z-2/Π)^2+(Π^2-2)/(2Π)>0
よって(B)よりz<0のときf'(z)<0
∴z<0のときf(z)は単調減少 (C)
又、
f(0)=0 (D)
ここで
f(-z)=f(z)ですから横軸にzを取ったy=f(z)のグラフはy軸に関して対称
∴(C)よりz>0のときf(z)は単調増加 (E)
(C)(D)(E)よりf(z)の最小値は2（このときz=0）
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