数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: ２次曲線 / Page: 0]

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■5707 / inTopicNo.1)

　２次曲線

□投稿者/ たろう一般人(1回)-(2005/11/18(Fri) 18:12:11)

楕円(x^2/9)+y^2=1上の点をＰ(3cosα,sinα)　(0≦α≦π/2)とし、原点Ｏと
点Ｐを結ぶ線分とx軸の正の部分のなす角をθとするとき、次の各問いに答えよ。
(1)線分ＯＰの長さが3/√5以上になるθの範囲を求めよ。
(2)|α-θ|の最大値を求めよ。

この問題がわかりません。どなたかご回答お願いします。

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■5726 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ２次曲線

▲▼■

□投稿者/ X 大御所(295回)-(2005/11/19(Sat) 11:46:47)

(1)まず点Pからx軸に下ろした垂線の足をQと置き、△OPQに注目すると
cosθ=OQ/OP=(3cosα)/√{(3cosα)^2+(sinα)^2}
=(3cosα)/√{8(cosα)^2+1} (A)
一方
OP≧3/√5であるから
√{(3cosα)^2+(sinα)^2}≧3/√5
∴√{8(cosα)^2+1}≧3/√5 (B)
(B)の両辺を二乗して整理すると
(cosα)^2≧1/10
よって0≦α≦π/2により
1/√10≦cosα≦1　(C)
ここでcosα=tと置くと、(C)は
1/√10≦t≦1 (D)
又Dは
cosθ=3t/√(8t^2+1)
=3/√(8+1/t^2) (E)
ここで(D)より
1/10≦t^2≦1
∴1≦1/t^2≦10
∴9≦8+1/t^2≦18
∴3≦√(8+1/t^2)≦3√2
∴1/(3√2)≦1/√(8+1/t^2)≦1/3
ですから(E)により
1/√2≦cosθ≦1 (F)
一方問題の楕円を図示したものから
0≦θ≦π/2 (G)
よって(F)より
0≦θ≦π/4

(2)
|α-θ|=α-θ(α-θ≧0のとき)
|α-θ|=-(α-θ)(α-θ<0のとき)
ですが
cos{-(α-θ)}=cos(α-θ)
ですので結局
cos|α-θ|=cos(α-θ)
∴cos|α-θ|=cosαcosθ+sinαsinθ (H)
ここで(1)の△OPQに注目して
sinθ=PQ/OP=(sinα)/√{(3cosα)^2+(sinα)^2}
=(sinα)/√{8(cosα)^2+1} (I)
(A)(I)を(H)に代入すると
cos|α-θ|={3(cosα)^2+(sinα)^2}/√{8(cosα)^2+1}
={2(cosα)^2+1}/√{8(cosα)^2+1}
=(1/4)√{8(cosα)^2+1}+(3/4)/√{8(cosα)^2+1} (J)
ここで相加平均と相乗平均の関係により
(1/4)√{8(cosα)^2+1}+(3/4)/√{8(cosα)^2+1}≧2√[{(1/4)√{8(cosα)^2+1}}・{(3/4)/√{8(cosα)^2+1}]
(等号成立は(1/4)√{8(cosα)^2+1}=(3/4)/√{8(cosα)^2+1}、つまりα=π/6のとき)
右辺を整理して
(1/4)√{8(cosα)^2+1}+(3/4)/√{8(cosα)^2+1}≧√3/2 (K)
(等号成立はα=π/6のとき)
(J)(K)より
cos|α-θ|≧√3/2 (L)
(等号成立はα=π/6のとき)
ここで(G)と0≦α≦π/2により
0≦|α-θ|≦π/2 (M)
よって(L)より
0≦|α-θ|≦π/3
(右辺と中辺の間の等号はα=π/6のときに成立)
となるから求める最大値はπ/3

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