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(1)
y=x^3-ax (A)
より
y'=3x^2-a
よって問題の法線の方程式は
y=x/a (B)
(A)(B)の交点のx座標について
x^3-ax=x/a
∴x=0,√(a+1/a),-√(a+1/a)
一方(A)とx軸との交点のx座標は
0,√a,-√a
以上を考慮に入れた(A)(B)のグラフを考えると
S=∫[-√(a+1/a)→0]{(x^3-ax)-x/a}dx+∫[0→√(a+1/a)]{x/a-(x^3-ax)}dx
=(1/2)(a+1/a)^2
(2)
(1)の結果に相加平均と相乗平均の関係を使いましょう。
２
前半）
0<a<1 (A)
により曲線
y=a(x-a)^2
は点(a,0)でx軸に接する下に凸の放物線になることが分かります。
よって
S=∫[a→1]a(x-a)^2dx=(1/3)a(1-a)^3 (B)
後半）
前半の結果を使って(A)における(B)の増減を調べましょう。
（(B)をaで微分します。）
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