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■5542 / inTopicNo.1) 　数列の極限
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□投稿者/ パスカル 一般人(1回)-(2005/11/14(Mon) 12:42:43)
    解いてください！！！！！！！！
    a_0>√3,a_n=1/2(a_n-1+3/a_n-1) (n=1,2,3…)

    (1)a_n>√3　(n=1,2,3…)　を示せ
    (2)a_n-√3<1/2(a_n-1-√3) (n=1,2,3…)を示せ
    (3)lim[n→∞](a_n)を求めよ！！！
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■5562 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 数列の極限
□投稿者/ だるまにおん 大御所(616回)-(2005/11/14(Mon) 19:04:00)
    a[0]＞√3
    a[n]=(1/2)(a[n-1]+3/a[n-1])
    (1)a[n]＞0なので途中で相加相乗不等式を使います。
    a[0]＞√3なのでn=0のときは成立。
    n=kのとき成立、すなわちa[k]＞√3とすると
    a[k+1]=(1/2)(a[k]+3/a[k])≧√(a[k]*3/a[k])=√3
    仮定よりこの不等式において等号は成り立たないのでn=k+1のときも成立。
    数学的帰納法より全ての自然数nでa[n]＞√3が成り立ちます。
    (2)a[n]-√3=(1/2)(a[n-1]+3/a[n-1])-√3＜(1/2)(a[n-1]+3/√3)-√3=(1/2)(a[n-1]-√3)
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