 | 2005/11/11(Fri) 17:53:28 編集(投稿者)
1
＞＞～の偶数であるものを
を
～の、nが偶数であるものを
のタイプミスであるとみて解きます。
条件より
b[n]=a[2n]=2^(2n)-(1/2)(2n+1)=4^n-(1/2)(1/4)^n
これより
b[n]=4・4^(n-1)-(1/8)(1/4)^(n-1)
となるから…。
2
（1）
条件より
a[n]=a+(n-1)d
b[n]=b(1/2)^(n-1)
∴c[n]=a[n]+b[n]=a+(n-1)d+b(1/2)^(n-1) (A)
(A)にc(1)=3,c(2)=5,c(3)=15/2を使い、a,b,dについての連立方程式を立てます。こちらの計算では
a=1,b=2,d=3
となりました。
（2）
（1）の結果より
c[n]=1+3(n-1)+2(1/2)^(n-1)
=3n-2+2(1/2)^(n-1)
よって
∑[k=1～n]c[k]=S[n]と置くと
S[n]=(3/2)n(n+1)-2n+2{1-(1/2)^n}/(1-1/2)
=(3/2)n(n+1)-2n+4-(1/2)^(n-2) (B)
ここで条件を満たすnに対して
S[n-1]≦2000<S[n] (C)
ですので(B)より(C)は次の連立不等式と等価になります。
(3/2)n(n+1)-2n+4-(1/2)^(n-2)>2000 (D)
(3/2)n(n-1)-2(n-1)+4-(1/2)^(n-3)≦2000 (E)
(E)×(-1/2)より
-(3/4)n(n-1)+n-1-2+(1/2)^(n-2)≧1000 (E)'
これと(D)とを辺々加えると
(3/2)n(n+1)-(3/4)n(n-1)-n+1>3000
これを解いて得られるnの範囲を満たす最小の自然数が求める値です。
|
