 | ■No5244に返信(かなさんの記事)
f(1)=a+b+1=e…① f'(x)=2ax+b…②
②より
∫(0～1)f'(x)e^xdx=∫(0～1)(2ax+b)e^xdx=[(2ax+b)e^x](0～1)-∫(0～1)2ae^xdx
=(2a+b)e-b-2a[e^x](0～1)=(2a+b)e-b-2a(e-1)…③
①より b=e-1-a これを③に代入して
(与式)=(2a+e-1-a)e-(e-1-a)-2a(e-1)=(a+e-1)e+{1-2(e-1)}a+1-e
=(e-2e+3)a+e^2-2e+1=(3-e)a+(e-1)^2
仮定より上式が４なので (3-e)a+(e-1)^2=4⇔a={4-(e-1)^2}/(3-e)
⇔a=(-e^2+2e+3)/(3-e)⇔a=(e-3)(e+1)/(e-3) ∴a=e+1…(答)
これを①に代入して b=-2…(答)
面積について、x≦1 で y=f(x),y=e^x はともに(0,1)(1,e)を通っているので、求める面積をＳとするとＳは[0,1]の範囲で積分したものである。
また、y=f(x)に関して
f(x)=(e+1)x^2-2x+1
f'(x)=2(e+1)x-2=2{(e+1)x-1}
f'(x)=0⇔x=1/(e+1)
0<1/(e+1)<1であり、y=f(x)はx=1/(e+1)で極大値をとるので
[0,1]の範囲で、f(x)>e^xである。よって、求める面積は
Ｓ=∫(0～1)(f(x)-e^x)dx=∫(0～1){(e+1)x^2-2x+1-e^x}dx
=[(e+1)x^3/3-x^2+x-e^x](0～1)=(e+1)/3-1+1-e+1=2(2-e)/3…(答)
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