 | 放物線: y = x^2
円: x^2 + (y - 2)^2 = r^2
(1) 4個の交点を持つ r の範囲は？
(2) 接する r は？
何はともあれ、まずは、図を描きましょう。
半径 r が非常に小さいときから徐々に大きくしていくと、
放物線と円の y 軸対称性から、交点の数は
0 → 2 → 4 → 3 → 2
と変化してゆきます。
(1) 求める範囲を r0 < r < r1 と置きます。
最初の 2 個交点を持つ場合は、放物線と円が各 2 点で接する
場合です。このとき、各曲線は共通の 2 接線を持ち、これら
接点 (x0, y0) と円の中心 (0, 2) の距離が r0 です。
具体的には、放物線の法線の方程式を求め、中心 (0, 2) を
通る場合を探します。放物線の法線は (x^2)' = 2 x より、
Y - x^2 = -1/(2 x) (X - x)
となります(x: 接点の x 座標)。中心 (X, Y) = (0, 2) を代入
すると 2 - x^2 = 1/2 となり x = ±√(3/2) です。したがって
求める接点(の一つ)は (x0, y0) = (√(3/2), 3/2) となります。
よって、
r0 = |(x0, y0) - (0, 2)| = √(7/4)
となります。
そして、3 個交点を持つ場合は、2 点で正の角度で交わり、
1 点すなわち原点 (0, 0) で接する場合です。したがって、
明らかに r1 = 2 となります。
以上から 「√(7/4) < r < 2」 が求める範囲です。
(2) (1) より明らかに 「r = √(7/4)」。ただし、広義では
「r = 2」も可です。
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