 | F=x^3-9x^2+27x-40+27/x-9/x^2+1/x^3に対し、t={x+(1/x)}とおく。
(1) Fをtの式で表せ。
(2) 実数xが正の範囲を動く時、Fの最小値を求めよ。
という問いについてなのですが、
(1)は
F={x+(1/x)}^3-3{x+(1/x)}-9[{x+(1/x)}^2-2]+27{x+(1/x)}-40より
tと置き換えて
F=t3-9t2+24t-22となりました。
これはあっていると思います。
ここで(2)は
F'=3t^2-18t+24=0
F'=3(t-4)(t-2)=0よりt=2、4と極地が定まり、極小値はt=4の時min-6となりました。
tの範囲を定めなければならないので相加相乗平均の関係を用いて、
t={x+(1/x)}より、x+(1/x)≧2√x*(1/x)=2よってt≧2となりました。
等号成立はx=(1/x)の時なので、両辺にxをかけてx^2=1よりx=±1
xが正の範囲を動くつまり(x>0)なので、x=1
ここからが質問です。
(2)の問いの解は上記で定めたx=1を用いて、
「解：x=1の時、Fは最小値-6をとる」としてよろしいのでしょうか？
もしくは、tの関数からt=4のとき-6という値が生じたので、
x+(1/x)=4よりx^2-4x+1=0を解いてx=2±√3の時に成立するようにするのでしょうか？
この場合は解は
「解：x=2±√3のとき、Fは最小値-6をとる」ですが、
どちらが正しいのでしょうか？
教えてください。
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