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■50704 / inTopicNo.1)  tanと自然数
  
□投稿者/ こうさく 一般人(1回)-(2021/04/16(Fri) 01:25:26)
    自然数m,nは、
    tanα=1/m,tanβ=1/n
    を満たす角度α,βをとると
    tan(α+β)が整数になるという。
    m,nを求めよ。

    教えて下さい。
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■50705 / inTopicNo.2)  Re[1]: tanと自然数
□投稿者/ らすかる 一般人(29回)-(2021/04/16(Fri) 06:46:37)
    tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
    =(1/m+1/n)/{1-(1/m)(1/n)}
    =(m+n)/(mn-1)
    少なくとも(分母)≦(分子)でなければならないので
    mn-1≦m+n
    mn-m-n-1≦0
    mn-m-n+1≦2
    (m-1)(n-1)≦2
    m=1のときtan(α+β)=(n+1)/(n-1)=1+2/(n-1)となるのでn=2,3
    n=1のときも同様にm=2,3
    m>1かつn>1のとき、(m-1)(n-1)≦2を満たす自然数(m,n)の組は
    (2,2),(2,3),(3,2)だが、このうち(2,2)は(m+n)/(mn-1)が整数とならず不適。
    他はすべて条件を満たすので、求める答えは
    (m,n)=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)

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■50706 / inTopicNo.3)  Re[2]: tanと自然数
□投稿者/ こうさく 一般人(2回)-(2021/04/16(Fri) 08:38:01)
    ありがとうございます!!
解決済み!
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