 | ■No5062に返信(まみまみさんの記事)
正五角形の一つの内角は 3×180°/ 5 = 108°です。
各頂点からすべての頂点に対角線を引くと、陰陽師で有名な「五芒星」
ができます。これは各内角を 3 等分します(円周角の定理から)。
したがって五芒星の鋭角は 108°/ 3 = 36°です。
ここで三角形 BOC に注目します。対角線 BD と OC の交点を E と
置けば、実は三角形 BOC と三角形 CBE は相似な二等辺三角形である
ことが示せます。なぜなら、この二つの三角形の内角がそれぞれ
72°, 36°, 72°だからです(正五角形に特有!)。
また、∠BOE = ∠OBE = 36°なので、三角形 OEB が二等辺三角形
であることも分かります。
上の二事実から、辺 BC = BE = OE = x と置けます。三角形 BOC と
三角形 CBE の相似比は 1 : x です。また、辺 CE = OC - OE = 1 - x
に注意すれば、OB : BC = BC : CE より関係式
1 : x = x : 1 - x
(黄金比)が得られます。したがって、二次方程式 x^2 + x - 1 = 0
を解けば x = (-1 ± √5)/2 であり、x > 0 から
(1) 一辺 x = (-1 + √5)/2
(2) ∠OBC = 72°
が得られます。また、頂点 O から辺 BC に下ろした垂線の足を F と
置けば cos∠OBC = BF / OC = BC / 2 = x / 2 なので
(3) cos∠OBC = (-1 + √5)/4
となります。
|