 | ■No5017に返信(なおさんの記事)
> 行列 A=(x^p^2-1 x^p-1)
> (1/p 1/(p^2)) とする。ただし、x＞0 , p＞0 である。
> (1)1/p*(x^p-1) , 1/(p^2)*(x^p^2-1) の大小を比較せよ。
> (2)Aが逆行列をもたないとき、x , pを求めよ。
> (3)A^3=Aが成り立つとき、Aを求めよ。
> 全部わからないです。教えてください。
(1)
問題を
>(1/p)(x^p-1) , {1/(p^2)}(x^p^2-1) の大小を比較せよ。
のタイプミスとして解答します。
(1/p)(x^p-1)-{1/(p^2)}(x^p^2-1)
の正負を判定します。
f(x)=(1/p)(x^p-1)-{1/(p^2)}(x^p^2-1)
と置くと
f'(x)=x^(p-1)-x^(p^2-1)
=x^(p-1)-x^{(p-1)(p+1)}
={1-x^(p+1)}x^(p-1)
よってp>0に注意してx>0におけるf(x)の増減表を書くとf(x)は
x=1のときに極大値0
を取ることが分かります。
よって
f(x)≦0 （等号成立はx=1のとき）(A)
つまり
(1/p)(x^p-1)≦{1/(p^2)}(x^p^2-1)
（等号成立はx=1のとき）
(2)
Aが逆行列を持たないので
(Aの行列式)=0
これは結局
f(x)=0
ですので(A)の等号成立条件を考えてx=1
(3)
A^3=A (B)
とします。
Aが逆行列を持つか否かで場合分けします。
(i)Aが逆行列を持たない,つまりx=1のとき
このとき
A=M{(0,0),(1/p,1/p^2)}
となりますので(B)に代入して成分を比較します。
(ii)Aが逆行列を持つ,つまりx≠1のとき
方針は(i)と同じですが、この場合は(B)をもう少し簡単にできます。
(B)より
A(A^2-E)=O
(但しEは単位行列、 Oは零行列)
ここでAは逆行列を持ちますので
A^2-E=O
∴A^2=E
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