 | > y' の向きを調べるには
> x < 1-√2, 1-√2 < x < 1+√2, x > 1+√2
> を満たす具体的な数値（計算が楽な数値を選ぶ）
> x = -1, x = 1, x = 3
> を y'（この例ではy'の分子）に放り込んで判断するという手順でよいのですよね？
そのようにすると楽な場合はあると思いますが、
y'=(-x^2+2x+1)/(x^2+1)^2ならば
y=-x^2+2x+1のグラフの概形は「x軸と2点で交わる上に凸な放物線」と
思い浮かびますので、わざわざ値を代入して計算しなくても
y'=0の解で区切られた各区間におけるy'の正負はわかりますね。
ですからこの問題ならいきなり増減表が書けます。
> 二階導関数で変曲点を求める方法がありますが、これを求めないと
> グラフを描くのが難しい関数の例
例えば
y=1/(1+x^3) （-2≦x≦2,x≠-1）
とかいかがでしょうか。
> グラフが上に凸、下に凸ということを調べるだけなら
> 一導関数だけでいいような気がしますけど。
一階導関数では「上に凸」や「下に凸」はわかりません。
単に増減がわかるだけです。
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