 | まずf(α)＞f(β)である場合を考える。
f(x)を平行移動しても(β-α)/(γ-α)の値は変わらないので
α=0,f(α)=0となるように平行移動し、その結果を
g(x)=(x^2)(x-p)(x-q) （0=α＜γ＜p＜β＜q）
とおく。
このときα=0なのでβ/γを求めればよい。
g'(x)=4x^3-3(p+q)x^2+2pqxだが今後p+qとpqは頻出なのでu=p+q,v=pqとおく。
g'(x)=4x^3-3ux^2+2vx
g'(x)=0の3解はx=0,{3u±√(9u^2-32v)}/8なので
β={3u+√(9u^2-32v)}/8, γ={3u-√(9u^2-32v)}/8となる。
3接線が等間隔という条件からg(β)+g(γ)=0
g(x)=x^4-ux^3+vx^2なので
g(β)+g(γ)=β^4+γ^4-u(β^3+γ^3)+v(β^2+γ^2)=0 … (1)
β,γはg'(x)=0の解なので
4β^3=3uβ^2-2vβ, 4γ^3=3uγ^2-2vγ
これを使って(1)の次数下げを行い、さらに
β+γ=3u/4, βγ=v/2 とそれから得られる
β^2+γ^2=(3u/4)^2-vを代入して整理すると
27u^4-144u^2v+128v^2=0
これより16v=3(3±√3)u^2
(p+q)^2≧4pqから16v≦4u^2なので
適解は16v=3(3-√3)u^2
よって
β={3u+√(9u^2-32v)}/8
={3u+√(9u^2-6(3-√3)u^2)}/8
={3+√(6√3-9)}u/8
γ={3u-√(9u^2-32v)}/8
={3-√(6√3-9)}u/8
従ってβ/γ={3+√(6√3-9)}/{3-√(6√3-9)}
={1+√3+√(2√3)}/2
f(α)＜f(β)の場合は左右反転すればよいので
1+1/{(β/γ)-1}
={1+√(3+2√3)}/2
以上により、(β-α)/(γ-α)の値は
f(α)＜f(β)＜f(γ)のとき {1+√(3+2√3)}/2
f(β)＜f(α)＜f(γ)のとき {1+√3+√(2√3)}/2
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