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■50103 / inTopicNo.1)  自作問題
  
□投稿者/ 闇メラ 一般人(1回)-(2019/10/19(Sat) 20:05:31)
    2019/10/19(Sat) 21:49:22 編集(投稿者)

    成り立つかどうか分かりませんが教えて頂きたいです。
    aとbは自然数とするとき、a^2-7ab+b^2=1ならばaまたはbは7で割り切れると言えるでしょうか。
    言えるのなら証明を、言えないなら反例(できれば全ての反例を網羅するアルゴリズムなども)を教えてください。
    よろしくお願いいたします。
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■50104 / inTopicNo.2)  Re[1]: 自作問題
□投稿者/ らすかる 一般人(35回)-(2019/10/19(Sat) 21:17:05)
    はい、言えます。
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■50108 / inTopicNo.3)  Re[1]: 自作問題
□投稿者/ らすかる 一般人(37回)-(2019/10/21(Mon) 03:39:00)
    a^2-7ab+b^2=1をaについて解くとa=(7b±√(45b^2+4))/2
    ペル方程式 45b^2+4=k^2の解bは
    a[0]=0, a[1]=1, a[n]=7a[n-1]-a[n-2]
    と表されるのでb≡-1,0,1 (mod7)
    b≡±1(mod7)のときb^2≡1(mod7)なので45b^2+4≡0(mod7)
    従ってbが7の倍数でない場合、√(45b^2+4)が整数ならば
    7の倍数となり、aが7の倍数になります。

    参考サイト ttp://oeis.org/A004187

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■50110 / inTopicNo.4)  Re[1]: 自作問題
□投稿者/ 闇メラ 一般人(2回)-(2019/10/21(Mon) 16:42:13)
    らすかる様、解説ありがとうございました。
    b≡-1,0,1(mod7)であることが示せるのですね。
    ペル方程式についてはこれから勉強してみようと思います。
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